Poids maximal «juste» correspondant

Je m'intéresse à une variante de l'appariement de poids maximum dans un graphique, que j'appelle "Maximum Fair Matching".

On suppose que le graphe est complet (ie ), a même nombre de sommets, et que le poids est donnée par une fonction de profit . Etant donné un correspondant , notons le profit de l'arête correspond. $E=V\times V$ $p:{V\choose 2}\to \mathbb N$ $M$ $M(v)$ $v$

Un correspondant $M$ est un siff correspondant juste, pour deux sommets $u,v\in V$ :

(\forall w \in V : p ({w, v}) \geq p ({w, u})) \to M (v) \geq M (u)

$(\forall w\in V:\ \ p(\{w,v\})\geq p(\{w,u\}))\to M(v)\geq M(u)$

Autrement dit, si pour tout sommet $w\in V$ , l'appariement de $w$ à un sommet $v$ donne un profit plus élevé que l'appariement à un sommet $u$ , une correspondance équitable doit suffire $M(v)\geq M(u)$ .

Pouvons-nous trouver un juste équilibre de poids maximum efficace?

Un cas intéressant est lorsque le graphique est bipartite et que l'équité ne s'applique qu'à un côté, c'est-à-dire que $G=(L\cup R,L\times R)$ , et on nous donne une fonction de profit $p:L\times R\to \mathbb N$ .

Une correspondance bipartite équitable est une correspondance en $G$ telle que pour deux sommets $u,v\in L$ :

(\forall w \in R : p ({v, w}) \geq p ({u, w})) \to M (v) \geq M (u)

$(\forall w\in R:\ \ p(\{v,w\})\geq p(\{u,w\}))\to M(v)\geq M(u)$

À quelle vitesse pouvons-nous trouver un appariement bipartite équitable de poids maximum?

La motivation de ce problème vient du cas particulier bipartite. Supposons que vous ayez travailleurs et tâches, et que le travailleur puisse produire profit du travail . Le problème ici est de concevoir une solution raisonnable (dans un sens, les travailleurs ne se sentiront pas «arnaqués»), tout en maximisant les gains totaux (il y a ici un compromis entre la puissance du mécanisme d'affectation et les avantages sociaux). $n$ $m$ $i$ $p_{i,j}$ $j$

Si nous définissons le bien-être social (ou le bénéfice d'usine) de l'affectation des travailleurs à des emplois comme la somme des bénéfices.

En examinant différents scénarios pour la puissance de l'assignateur de tâches, nous obtenons les résultats suivants:

Si nous sommes autorisés à affecter n'importe quel travailleur à n'importe quel travail, nous pouvons optimiser efficacement l'usine (il suffit de trouver une correspondance de poids maximal).
Si chaque travailleur choisit une tâche par lui-même, en supposant que son travail sera sélectionné (un seul travail peut être sélectionné pour chaque emploi) s'il est le travailleur le plus qualifié qui a choisi la tâche, les travailleurs convergeront vers le `` gourmand '' 'équilibre. La raison en est que le travailleur qui pourrait gagner le plus ( ) choisira le travail le plus rentable, etc. Par le taux d'approximation de l'algorithme gourmand pour l'appariement, cela devrait donner une approximation 2 du bien-être social maximal possible. $i=\mbox{argmax}_i \max_j p_{i,j}$

Je cherche quelque chose entre les deux. Supposons que nous puissions affecter des travailleurs à des emplois, mais devons leur promettre qu'aucun travailleur "moins qualifié" ne gagne plus qu'eux.

Comment trouver un poids maximal correspondant à une «équité» prometteuse pour les employés de manière efficace?

— RB
source

Tangentiellement, pour le deuxième cas (bipartite), il semble facile de construire des exemples où chaque appariement "juste" donne au premier travailleur un profit 1, et le reste zéro, même s'il existe des appariements "injustes" donnant au premier travailleur un bénéfice et tous les autres profitent . De même, des exemples où l'appariement équitable de poids maximum donne à chaque travailleur un bénéfice de , même s'il existe des appariements injustes donnant à chaque travailleur un profit dans .

1 - 2 ϵ

$1−2\epsilon$

1 - ϵ

$1−\epsilon$

2 / n

$2/n$

{1 - ϵ, 1 - 2 ϵ}

$\{1-\epsilon,1-2\epsilon\}$

— Neal Young

@NealYoung - ai-je raison de supposer que ces scénarios ne peuvent pas exister si les bénéfices sont distincts?

— RB

Cela semble être un problème standard dans la théorie des jeux où l'incapacité à distinguer les alternatives réduit considérablement le bien-être social.

— RB

Oups, je reprends mon commentaire - je ne suis pas sûr que ces exemples soient réalisables après tout!

— Neal Young

Je crois que "l'appariement bipartite équitable au poids maximum" tel que vous l'avez défini est NP-difficile. De plus, il est difficile de déterminer l'existence d'une correspondance bipartite équitable.

Avant de donner un croquis de preuve, pour l'intuition, considérons la petite instance suivante. Prenez où , . Prenez tel que pour et , tandis que pour et . Alors et sont équivalents, dans le sens où pour tout , donc tout appariement équitable doit donner à et le même profit. Par conséquent, les seuls appariements équitables correspondent $G'=(L, R, E'=L\times R)$ $L=\{a,b\}$ $R=\{c,d,e,f\}$ $p$ $p(u,w) = 0$ $u\in L$ $w\in\{c,d\}$ $p(u,w) = 1$ $u\in L$ $w\in\{e,f\}$ $a$ $b$ $p(a, w) = p(b, w)$ $w\in R$ $a$ $b$ $a$ et à et , ou ils correspondent à et à et . En utilisant ce genre de gadget, nous pouvons forcer la coordination des bords dans l'appariement. C'est la base de la réduction. $b$ $c$ $d$ $a$ $b$ $e$ $f$

Voici une tentative de preuve. C'est un peu compliqué. Il y a probablement des erreurs, mais j'espère que toutes les erreurs peuvent être corrigées.

Lemme 1. Étant donné et comme décrit dans le problème, déterminer si contient une correspondance juste est NP -difficile. $G'=(L, R, E'=L\times R)$ $p:E'\rightarrow\mathbb{R}_+$ $G'$

Croquis de preuve. La preuve est par réduction de l'ensemble indépendant en graphes cubiques. Soit une instance donnée de l'ensemble indépendant où est un graphe cubique (chaque sommet a le degré 3). Nous décrivons comment construire un graphe et la fonction de profit telle que ait une correspondance bipartite juste si et seulement si a un ensemble indépendant de taille . $(G=(V,E),k)$ $G'$ $G'=(L, R, E'=L\times R)$ $p:E'\rightarrow\mathbb{R}_+$ $G'$ $G$ $k$

Les sommets de viendront par paires, appelés partenaires . De même pour les sommets de . Pour chaque sommet , on laisse désigner le partenaire de . Chaque sommet et son partenaire seront équivalents , ce qui signifie que nous ferons Par conséquent, toute correspondance équitable doit affecter le même bénéfice à et . Dans ce qui suit, nous utilisons pour désigner la valeur de . $L$ $R$ $v\in L\cup R$ $v'$ $v$ $\ell\in L$ $\ell'\in L$

p (ℓ, r) = p (ℓ^{'}, r) for all r \in R .

$p(\ell, r) = p(\ell', r) \text{ for all } r\in R.$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

π (ℓ, r)

$\pi(\ell, r)$

p (ℓ, r) = p (ℓ^{'}, r)

$p(\ell,r) = p(\ell', r)$

De plus, pour chaque paire dans , et chaque paire de partenaires dans , soit on fait soit on fait Dans le premier cas, nous disons que nous permettons à et d'être mis en correspondance avec et (car cela attribuerait le même bénéfice à et , comme requis). Dans ce dernier cas, nous disons que nous empêchons et d'être (les deux) appariés à et $\ell$ $L$ $r, r'$ $R$

π (ℓ, r) = π (ℓ, r^{'})

$\pi(\ell, r) = \pi(\ell, r')$

π (ℓ, r) \neq π (ℓ, r^{'}) .

$\pi(\ell, r) \ne \pi(\ell, r').$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

r

$r$

r^{'}

$r'$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

r

$r$

r^{'}

$r'$ (car cela n'affecterait pas le même profit à et ).

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

Comme le graphe donné est cubique, il satisfait, et tout ensemble indépendant de taille dans est incident à exactement bords. Supposons pour faciliter la notation que . $G=(V,E)$ $3|V|=2|E|$ $I$ $k$ $G$ $3k$ $V=\{1,2,\ldots,n\}$

Pour chaque arête , procédez comme suit. $\{i, j\}\in E$

Ajouter une paire de sommets partenaires à . $r(\{i,j\}), r'(\{i,j\})$ $R$
Pour point final , ajoutez une paire de partenaire sommets à . Set permettant à et de correspondre à et . $i$ $\ell(i,j), \ell'(i,j)$ $L$
$π (ℓ (i, j), r ({i, j})) = π (ℓ (i, j), r^{'} ({i, j})) = i,$ $\pi(\ell(i,j), r(\{i,j\})) = \pi(\ell(i,j), r'(\{i,j\}))= i,$ $\ell(i,j)$ $\ell'(i,j)$ $r(\{i,j\})$ $r'(\{i,j\})$
Symétriquement, pour l'autre extrémité : ajoutez une autre paire de sommets partenaires à , et définissez permettant et à mettre en correspondance avec et . $j$ $\ell(j,i), \ell'(j,i)$ $L$
$π (ℓ (j, i), r ({i, j}) = π (ℓ (j, i), r^{'} ({i, j})) = j,$ $\pi(\ell(j,i), r(\{i,j\}) = \pi(\ell(j,i), r'(\{i,j\}))= j,$ $\ell(j,i)$ $\ell'(j,i)$ $r(\{i,j\})$ $r'(\{i,j\})$

Pour chaque et ajoutés jusqu'à présent, si la paire n'est pas explicitement autorisée (ci-dessus) à correspondre à , alors empêcher la correspondance en affectant et chacun un certain nombre unique. $\ell\in L$ $r\in R$ $\ell, \ell'$ $r, r'$ $\pi(\ell, r)$ $\pi(\ell, r')$

Ensuite, ajouter paires de remplissage sommets pour . Pour chaque sommet de remplissage et chaque , définissez . $3(|V|-k)$ $R$ $r$ $\ell(i,j)\in L$ $\pi(\ell(i,j), r) = 0$

Enfin, ajoutez deux sommets et (partenaires) à , avec un deux sommets et (aussi partenaires) à . Définissez , ce permet de faire correspondre et à et . Pour chaque autre sommet , définissez sur un certain nombre unique. (Par conséquent, toute correspondance équitable doit correspondre à et à et .) Pour chaque $L_0$ $L'_0$ $L$ $R_0$ $R'_0$ $R$ $\pi(L_0, R_0) = \pi(L_0, R'_0) = 1$ $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $r\in R$ $\pi(L_0, r)$ $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $i\in V$ , pour chaque bord incident , définissez et . $\{i,j\}\in E$ $\pi(\ell(i,j), R_0) = i$ $\pi(\ell(i,j), R'_0) = |V|-i+1$

Cela termine la réduction. Pour finir, nous prouvons que c'est correct.

Considérons d'abord pour quelles paires de sommets ce dernier domine le premier, c'est-à-dire $\ell(i,j),\ell(i',j')\in L$

(\forall r \in R) π (ℓ (i, j), r) \leq π (ℓ (i^{'}, j^{'}), r) .

$(\forall r\in R)~\pi(\ell(i,j),r) \le \pi(\ell(i',j'), r).$

Compte tenu des bénéfices attribués aux arêtes incidentes à et , cette condition ne peut être remplie que si , et, en inspectant la définition de pour les arêtes restantes, la condition est suffisante. Par conséquent, une correspondance est juste si et seulement si elle affecte et à et , et aussi, pour chaque , donne le même profit à tous les sommets de $R_0$ $R'_0$ $i=i'$ $\pi$ $i=i'$ $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $i\in V$

N (i) = {ℓ (i, j) : {i, j} \in E} \cup {ℓ^{'} (i, j) : {i, j} \in E} .

$N(i) = \{\ell(i,j) : \{i,j\}\in E\} \cup \{\ell'(i,j) : \{i,j\}\in E\}.$

Supposons d'abord que possède un ensemble indépendant de taille . Obtenez un appariement équitable pour de comme suit. $G$ $I$ $k$ $G'$ $I$

correspondre et à et . $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$

Pour chaque sommet , soit ses trois arêtes incidentes. Pour chaque arête correspondre le sommet et son partenaire à et . Cela donne tous les sommets de profit . $i\in I$ $\{i,j_1\}, \{i,j_2\}, \{i,j_3\}$ $\{i, j_h\}$ $\ell(i,j_h)$ $\ell'(i,j_h)$ $r(\{i,j_h\})$ $r'(\{i, j_h\})$ $N(i)$ $i$

Pour chacun des sommets , pour chacune des trois arêtes incidentes à , correspondre et son partenaire à une paire unique de sommets de remplissage et à son partenaire . Cela donne tous les sommets de profit . $|V|-k$ $i\in V\setminus I$ $\{i,j\}$ $i$ $\ell(i,j)$ $\ell'(i,j)$ $r$ $r'$ $N(i)$ $0$

Par conséquent, cette correspondance est juste.

Supposons ensuite que ait un correspondant juste . $G'$ $M$

$M$ doit correspondre à et à et . Pour chaque , l'appariement doit donner à chacun des sommets de le même profit. Pour chaque , son partenaire est également dans . Ainsi, en examinant la réduction, le profit de chacun de ces sommets doit être soit (auquel cas les six sommets de sont mis en correspondance avec les sommets et leurs partenaires) ou zéro (auquel cas les six sommets de correspondent aux sommets de remplissage de ). Laisser $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $i\in V$ $N(i)$ $\ell(i,j)\in N(i)$ $\ell'(i,j)$ $N(i)$ $i$ $N(i)$ $r(\{i,j\})$ $N(i)$ $R$ $I$ l'ensemble des sommets pour lesquels l'ancien cas est valable. Pour chaque arête , le sommet et son partenaire sont chacun associés à un sommet. Il s'ensuit que est un ensemble indépendant. Comme le nombre de sommets de remplissage est , la taille de doit être d'au moins . $\{i,j\}$ $r(\{i,j\})$ $I$ $6(|V|-k)$ $I$ $k$

QED (?)

Je pense que c'est fondamentalement correct, même si c'est un peu compliqué. Faites-moi savoir si vous voyez des erreurs ou un moyen de simplifier la preuve.

La réduction ci-dessus suppose qu'il est acceptable de prendre. Si ce n'est pas souhaitable, je suppose que nous pouvons remplir avecremplir les sommets, en affectant le profit 0 à toutes leurs arêtes à l'exception des arêtes à et . Nous pouvons affecter des bénéfices à ces derniers bords pour nous assurer que les sommets de remplissage ne sont pas dominés par (ni ne dominent) aucun autre sommet. $|R|>|L|$ $L$ $|R|-|L|$ $R_0$ $R'_0$

— Neal Young
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