Décompositions de graphes pour combiner les fonctions «locales» des étiquetages de sommets

\sum_{X} \prod_{je j \in E} F (X_{je}, X_{j})

$\sum_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$

max_{X} \prod_{je j \in E} F (X_{je}, X_{j})

$\max_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$

Lorsque max ou sum est pris sur tous les étiquetages de , le produit est pris sur tous les bords pour un graphique et est une fonction arbitraire. Cette quantité est facile à trouver pour les graphiques de largeur d'arbre bornée et en général NP-difficile pour les graphiques plans. Le nombre de colorations appropriées, le jeu indépendant maximum et le nombre de sous-graphes eulériens sont des exemples spéciaux du problème ci-dessus. Je m'intéresse aux schémas d'approximation polynomiale du temps pour des problèmes de ce type, en particulier pour les graphes planaires. Quelles décompositions de graphe seraient utiles? $V$ $E$ $G=\{V,E\}$ $f$

Edit 11/1 : À titre d'exemple, je m'interroge sur les décompositions qui pourraient être analogues aux extensions de grappes de la physique statistique (c'est-à-dire l'expansion de Mayer). Lorsque représente des interactions faibles, ces extensions convergent, ce qui signifie que vous pouvez obtenir une précision donnée avec termes d'expansion, quelle que soit la taille du graphique. Cela n'impliquerait-il pas l'existence de PTAS pour la quantité? $f$ $k$

Mise à jour 02/11/2011

Les expansions à haute température réécrivent la fonction de partition comme une somme de termes où les termes d'ordre supérieur dépendent d'interactions d'ordre supérieur. Lorsque les «corrélations se désintègrent», les termes d'ordre élevé se désintègrent assez rapidement pour que presque toute la masse de soit contenue en nombre fini de termes d'ordre faible. $Z$ $Z$

Par exemple pour le modèle Ising, considérons l'expression suivante de sa fonction de partition

Z = \sum_{X \in X} \exp J \sum_{je j \in E} X_{je} X_{j} = c \sum_{UNE \in C} (\tanh J)^{| UNE |}

$Z=\sum_\mathbf{x\in \mathcal{X}} \exp J \sum_{ij \in E} x_i x_j = c \sum_{A\in C} (\tanh J)^{|A|}$

Ici une constante simple, est un ensemble de sous-graphes eulériens de notre graphe, est le nombre de bords dans sous - graphe . $c$ $C$ $|A|$ $A$

Nous avons réécrit la fonction de partition comme une somme sur des sous-graphiques où chaque terme de la somme est pénalisé de façon exponentielle par la taille du sous-graphique. Regroupez maintenant les termes ayant le même exposant et approximez $Z$ en prenant les premiers $k$ termes. Lorsque le nombre de sous-graphes eulériens de taille $p$ ne croît pas trop vite, l'erreur de notre approximation décroît exponentiellement avec $k$ .

Le comptage approximatif est difficile en général, mais facile pour les instances de "décroissance de corrélation". Par exemple, dans le cas du modèle Ising, il y a décroissance de corrélation lorsque croît plus lentement que où est le nombre de sous-graphes eulériens de taille . Je crois que dans ce cas, la dilatation à haute température tronquée donne un PTAS pour $f(k)$ $(\tanh J)^k$ $f(k)$ $k$ $Z$

Un autre exemple est le comptage d'ensembles indépendants pondérés - il est utilisable pour n'importe quel graphique si le poids est suffisamment faible car vous pouvez faire en sorte que le problème présente une décroissance de corrélation. La quantité est ensuite approximée en comptant des ensembles indépendants dans des régions de taille limitée. Je crois que le résultat STOC'06 de Dror Weitz implique que le comptage d'ensembles indépendants non pondérés est possible pour tout graphique avec un degré maximum 4.

J'ai trouvé deux familles de décompositions "locales" - les graphes de grappes de Bethe et les graphes de région de Kikuchi. La décomposition Bethe vous dit essentiellement de multiplier les comptes dans les régions et de diviser par les comptes dans les chevauchements de régions. La méthode du graphique de la région de Kikuchi améliore cette situation en tenant compte du fait que les chevauchements de régions peuvent eux-mêmes se chevaucher, en utilisant le type de correction "inclusion-exclusion".

Une approche alternative consiste à décomposer le problème en parties globales tractables, comme dans «Inférence variationnelle sur les espaces combinatoires». Cependant, les décompositions locales vous permettent de contrôler la qualité de l'approximation en sélectionnant la taille de la région

— Yaroslav Bulatov
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Ce que je veux dire est trop long pour (mais devrait vraiment l'être) un commentaire.

Si je lis correctement la question, vous voulez un FPRAS (schéma d'approximation aléatoire entièrement polynomial) pour l'une ou l'autre des quantités ci-dessus, chacune comprenant divers problèmes # P-complets comme cas spéciaux. En particulier, vous voulez un FPRAS général dans le cas des graphes planaires, par l'utilisation de l'expansion de cluster.

Je doute que cela soit possible en raison du fait que l'exhaustivité de NP du problème d'existence (par exemple, une coloration appropriée) implique que le problème de comptage correspondant (par exemple, le nombre de colorations appropriées) est complet en #P en ce qui concerne la réductibilité AP (approximation - conservation). Voir Dyer, Goldberg, Greenhill et Jerrum, Algorithmica (2004) 38: 471-500.

Mais j'ai peut-être mal lu la question.

(En fait, seriez-vous en mesure d'expliquer aux non-initiés la signification des expansions à haute température?)

— RJK
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J'ai mis la réponse à ma question

— Yaroslav Bulatov

@Yaroslav: Merci pour la clarification détaillée! BTW, par "région" voulez-vous dire "sous-ensemble de vertex"? (C'est ce que je vois quand je regarde Heske, JAIR 26 (2006), 153-190.) Donc, en fait, il semble que vous cherchiez des FPRAS spécifiques (c'est-à-dire avec des choix particuliers de f) pour des classes spécifiques (comme le diplôme la plupart 4) de graphes planaires utilisant ce que vous appelez la "décomposition de graphes" (qui est un terme très surchargé, pour être juste). Est-ce exact?

— RJK

Oui, les régions sont des sous-ensembles de sommets, et je suis intéressé par PTAS pour les classes de graphiques "tractables". BTW, voici un exemple élaboré d'une décomposition de cluster pour compter les ensembles indépendants qui, je pense, peuvent être transformés en PTAS pour les instances avec décroissance de corrélation - yaroslavvb.blogspot.com/2011/02/…

— Yaroslav Bulatov