Un important article de 2003 de Childs et al.a introduit le "problème des arbres conjoints": un problème admettant une accélération quantique exponentielle qui ne ressemble à pratiquement aucun autre problème de ce genre que nous connaissons. Dans ce problème, on nous donne un graphique exponentiellement grand comme celui illustré ci-dessous, qui se compose de deux arbres binaires complets de profondeur n, dont les feuilles sont connectées l'une à l'autre par un cycle aléatoire. Nous sommes fournis avec l'étiquette du sommet ENTRANCE. Nous sommes également fournis avec un oracle qui, étant donné en entrée l'étiquette de n'importe quel sommet, nous indique les étiquettes de ses voisins. Notre objectif est de trouver le sommet EXIT (qui peut facilement être reconnu, comme le seul sommet de degré 2 dans le graphique autre que le sommet ENTRANCE). Nous pouvons supposer que les étiquettes sont de longues chaînes aléatoires, de sorte qu'avec une probabilité écrasante,le sommet autre que le sommet ENTRANCE doit lui être donné par l'oracle.
Childs et al. a montré qu'un algorithme de marche quantique est simplement capable de parcourir ce graphique et de trouver le sommet EXIT après des étapes poly (n). En revanche, ils ont également montré que tout algorithme randomisé classique nécessite des étapes exp (n) pour trouver le sommet EXIT avec une forte probabilité. Ils ont déclaré leur borne inférieure comme Ω (2 n / 6 ), mais je crois qu'un examen plus approfondi de leur preuve donne Ω (2 n / 2 ). Intuitivement, cela est dû au fait qu'avec une probabilité écrasante, une marche aléatoire sur le graphique (même une marche auto-évitante, etc.) restera coincée dans la vaste région centrale pendant une durée exponentielle: chaque fois qu'un promeneur commence à se diriger vers la SORTIE , le nombre beaucoup plus grand de bords pointant loin de la SORTIE agira comme une "force répulsive" qui la repoussera vers le milieu.
La façon dont ils ont formalisé l'argument était de montrer que, jusqu'à ce qu'il soit visité ~ 2 n / 2 sommets, un algorithme randomisé n'a même pas trouvé de cycles dans le graphique: le sous-graphique induit qu'il est vu jusqu'à présent n'est qu'un arbre, ne fournissant aucun des informations sur la position du sommet EXIT.
Je souhaite identifier plus précisément la complexité des requêtes aléatoires de ce problème. Ma question est la suivante:
Quelqu'un peut-il trouver un algorithme classique qui trouve le sommet EXIT en moins de ~ 2 n pas --- disons, en O (2 n / 2 ) ou O (2 2n / 3 )? Alternativement, quelqu'un peut-il donner une borne inférieure meilleure que Ω (2 n / 2 )?
(Notez que, par le paradoxe de l'anniversaire, il n'est pas difficile de trouver des cycles dans le graphique après O (2 n / 2 ) étapes. La question est de savoir si l'on peut utiliser les cycles pour obtenir des indices sur la position du sommet EXIT.)
Si quelqu'un peut améliorer la borne inférieure du passé Ω (2 n / 2 ), alors à ma connaissance, cela fournirait le tout premier exemple prouvable d'un problème de boîte noire avec une accélération quantique exponentielle, dont la complexité de la requête randomisée est supérieure à √N . (Où N ~ 2 n est la taille du problème.)
Mise à jour: j'ai appris d'Andrew Childs que, dans cette note , Fenner et Zhang améliorent explicitement la limite inférieure aléatoire des arbres conjoints à Ω (2 n / 3 ). S'ils étaient prêts à accepter une probabilité de succès constante (plutôt qu'exponentiellement petite), je pense qu'ils pourraient encore améliorer la borne, à Ω (2 n / 2 ).
