Représentation formelle des anneaux dans les calculs

En lisant un article sur l'utilisation de méthodes algébriques pour détecter certains sous-graphes induits, il apparaît que l' idéal de bord est un outil important reliant l'algèbre commutative et la théorie des graphes. Comme je ne suis pas familier avec les calculs d'objets algébriques, existe-t-il de bonnes références ou des livres sur ce sujet? Particularité dans la représentation d'un anneau R sur une machine de Turing, et la complexité de décider des propriétés de base sur R (disons, la hauteur d'un idéal premier dans R.)

Vos questions sont liées à un domaine (sans jeu de mots) appelé "Algèbre informatique". Je cherchais moi-même des enquêtes complètes lorsque je travaillais sur des méthodes algébriques pour calculer diverses métriques de centralité des graphes. Je n'ai pas pu trouver de bonnes enquêtes, mais ce livre m'a été partiellement utile. Les documents de recherche sur ce «sujet» sont dispersés partout et souvent non explicitement classés comme «algèbre informatique». La lecture d'articles algorithmiques sur l'isomorphisme, la factorisation (entiers / polynômes) et les algorithmes de graphes basés sur la multiplication matricielle pourraient vous donner plus d'informations.

À ma connaissance:

1. Si vous lisez sur les bornes inférieures dans certains modèles de calcul algébrique, alors l'hypothèse habituelle est que les opérations en anneau ou sur le terrain ont un coût constant , c'est-à-dire qu'elles sont données sous forme de primitives. C'est l'hypothèse formulée dans l'une des principales sources sur le sujet: Burgisser, Clausen, Shokrollahi- Théorie de la complexité algébrique (Springer, 1997). (Et c'est ce qui est modélisé par les circuits algébriques, par exemple.)

2. Lorsque l'on parle de limites supérieures , pour les questions standard de complexité algébrique, comme lors de l'étude des procédures de test d'identité polynomiale, l'hypothèse standard est que les opérations d'anneau ou de champ peuvent être calculées en polytemps. Cela signifie que l'on travaille sur les entiers, ou sur les nombres rationnels, et il est facile de trouver un schéma de codage qui permette des calculs aussi efficaces des opérations de base.

3. À d'autres fins que je connais, concernant les modèles algébriques, la manière de représenter l'anneau ou le champ est une vraie question et parfois il n'y a pas de moyen efficace de le faire, et il pourrait même y avoir des questions d'indécidabilité. Les références que je connais qui couvrent ce genre de questions sont le livre que Shiva Kintali a donné, ainsi que: Algorithmic Algebra , Bhubaneswar Mishra, Springer 1993: le chapitre 3 traite des moyens de représenter certains anneaux.

D'autres livres d'intérêt pourraient être: Zur Gathen et Jurgen Gerhard, Modern Computer Algebra , Cambridge, 1999. Et peut-être Victor Shoup, A Computational Introduction to Number Theory and Algebra , (Disponible en ligne).

Vous pourriez également avoir de la chance avec les mots-clés «algèbre commutative computationnelle» et «géométrie algébrique computationnelle». Essayez CLO comme point de départ, et regardez J. Symbolic Computation, et des systèmes comme Macaulay2 et Singular et les articles qui les référencent. Le gros marteau est constitué par les bases Gr \ "obner, dont le calcul résoudra de nombreux problèmes algébriques, mais est dans le pire des cas doublement exponentiel en général.