Théorie des types d'homotopie et théorèmes d'incomplétude de Gödel

Kurt Gödel de théorèmes incomplétude établir les « limites inhérentes de tous , mais la plupart des systèmes axiomatiques triviales capables de faire de l' arithmétique ».

La théorie des types d'homotopie fournit une fondation alternative pour les mathématiques, une fondation univalente basée sur des types inductifs supérieurs et l' axiome d'univalence . Le livre HoTT explique que les types sont des groupoïdes supérieurs, les fonctions sont des foncteurs, les familles de types sont des ﬁ bations, etc.

Le récent article "Formally Verified Mathematics" dans CACM par Jeremy Avigad et John Harrison discute HoTT en ce qui concerne les mathématiques formellement vérifiées et la démonstration automatique des théorèmes.

Les théorèmes d'incomplétude de Gödel s'appliquent-ils à HoTT?

Et s'ils le font,

la théorie du type d'homotopie est-elle altérée par le théorème d'incomplétude de Gödel (dans le contexte des mathématiques formellement vérifiées)?

lo.logic type-systems homotopy-type-theory

— oeil de faucon
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Question interessante. Y a-t-il quelque chose que vous avez lu qui vous a suggéré que HTT ne souffre pas de l'inachèvement de Godel? (Notez que les tentatives précédentes de fondations - telles que la théorie des ensembles - souffrent également de l'incomplétude de Godel ...)

— Joshua Grochow

HoTT "souffre" de l'incomplétude de Gödel, bien sûr, car il possède un langage et des règles d'inférence calculables, et nous pouvons y formaliser l'arithmétique. Les auteurs du livre HoTT étaient parfaitement conscients de son incomplétude. (En fait, cela est assez évident, surtout lorsque la moitié des auteurs sont des logiciens d'une certaine sorte).

Mais l'incomplétude "altère" HoTT? Pas plus que tout autre système officiel, et je pense que toute la question est un peu erronée. Permettez-moi d'essayer une analogie. Supposons que vous ayez une voiture qui ne peut pas vous emmener partout sur la planète. Par exemple, il ne peut pas grimper verticalement sur un mur. La voiture est-elle "affaiblie"? Bien sûr, cela ne peut pas vous amener au sommet de l'Empire State Building. La voiture est-elle inutile? Loin de là, cela peut vous emmener trop d'autres endroits intéressants. Sans oublier que l'Empire State Building possède des ascenseurs.

— Andrej Bauer
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Je ne pense pas que l'analogie avec la voiture fonctionne tout à fait car la question n'est pas tant "La voiture est-elle inutile?" mais "La voiture peut-elle servir de moyen de transport de base?" Mais, en tout état de cause, le point fondamental est que tout système qui va être le fondement des mathématiques est nécessairement incomplet.

— David Richerby

Mon point était que les gens ne s'attendent pas à ce qu'il existe une machine de transport parfaite, et ils ne s'inquiètent pas non plus qu'il y en ait, mais d'une manière ou d'une autre ils s'inquiètent du fait qu'aucune base (raisonnable) des mathématiques ne soit complète.

— Andrej Bauer