Quelles propriétés des graphes planaires se généralisent aux dimensions / hypergraphes supérieurs?

Un graphe planaire est un graphe qui peut être intégré dans le plan, sans avoir de bords croisés.

Soit un hypergraphe uniforme , c'est-à-dire un hypergraphe tel que tous ses hyper-bords aient la taille k.$G=(X,E)$$k$

Il y a eu un certain travail sur l'intégration d'hypergraphes dans le plan (avec le contexte du clustering ou d'une autre application), mais souvent, les données ne peuvent tout simplement pas être intégrées dans le plan. La solution pourrait être soit de le forcer, avec une certaine perte, soit de l'intégrer dans une dimension supérieure comme je le suggère ici:

Une extension naturelle de la planarité (au moins IMO) est un " -intégration simple" (existe-t-il un nom différent connu pour cela?) De : une intégration , de sorte qu'il existe des surfaces qui relient tous les sommets de chaque hyperedge, et celles-ci ne se coupent pas sauf pour les extrémités.G M : X → R$k$$G$$\mathcal{M}:X\to \mathbb{R}^k$

(Pensez à l'analogue en 2D, où chaque surface est un bord que vous pouvez dessiner comme vous le souhaitez).

Voici un exemple d'une intégration 3-simple valide d'un hypergraphe 3 uniformes. (Chaque sommet est coloré par les hyper-arêtes dans lesquelles il est contenu et chaque face représente une hyper-arête).

Un autre exemple de graphe 3 simples est l'hypergraphe 3 uniformes complet sur 5 sommets . Pour voir cela, prenez simplement 4 points dans qui ne se trouvent pas sur un plan 2D, créez une pyramide triangulaire (leur coque convexe) et placez le cinquième point au centre de la pyramide, en le connectant à les autres sommets.R$G=(V,V\times V\times V)$$\mathbb{R}^3$

De même, il semble que l'hypergraphe 3 uniformes complet sur 6 sommets n'ait pas d'incorporation 3 simples.

Il existe des propriétés très utiles des graphes planaires qui permettent d'améliorer les algorithmes pour les problèmes difficiles lorsque le graphe est planaire. Malheureusement, les données ne sont souvent pas planes, bien qu'elles soient parfois de faible dimensionnalité. Je pense que comprendre quelles propriétés des graphes planaires généralisent nous aidera à déterminer quels algorithmes peuvent être adaptés pour une dimension supérieure avec le même outil.

Un exemple de propriété qui pourrait être utile vient du théorème de Fáry qui suggère que chaque graphique plan peut être intégré de manière à ce que toutes ses arêtes soient des segments de ligne droite.

Le théorème de Fáry tient-il dans une dimension supérieure? , c'est-à-dire que si un graphe a un -intégration simple, a-t-il une intégration dans laquelle tous les hyper bords sont des hyperplans?$k$

Y a-t-il d'autres propriétés qui peuvent être généralisées? par exemple, la formule d'Euler pour les graphes planaires peut-elle être généralisée d'une manière ou d'une autre à une dimension supérieure? (même si pour le moment je ne sais pas quel serait le sens de celui-ci).

Comme première remarque, votre attention semble être sur les hypergraphes, mais je pense que la plupart de la littérature sur l'intégration d'hypergraphes préfère travailler avec des complexes simpliciaux. Une bonne référence sur ces questions est cet article de Matousek, Tancer et Wagner.

Le théorème de Fáry tient-il dans une dimension supérieure?

La réponse est non.

Il y a en fait 3 notions différentes d'embeddabilité: avec des bords droits, linéaires par morceaux et (hyper) continus. Dans l'avion, ils coïncident tous, mais en général ils ne le font pas. Concernant les plongements en ligne droite, un premier contre-exemple est dû à Brehm

Brehm, U. (1983). Bande de Möbius triangulée non polyédrique. Proc. Amer. Math. Soc., 89 (3), 519–522. doi: 10.2307 / 2045508

et plusieurs exemples ont suivi en utilisant les résultats de la théorie des matroïdes.

À propos de la différence entre PL et les plongements topologiques, cela résulte des contre-exemples généraux découlant de la Hauptvermutung : dans les dimensions 5 et plus, il existe des sphères topologiques qui n'admettent aucune structure linéaire par morceaux

Y a-t-il d'autres propriétés qui peuvent être généralisées? par exemple, la formule d'Euler pour les graphes planaires peut-elle être généralisée d'une manière ou d'une autre à une dimension supérieure?

$k$

De même, il semble que l'hypergraphe 3 complet sur 6 sommets n'ait pas d'incorporation simple 3.

En effet, cela résulte de l'obstruction de van Kampen-Flores. Ceci est expliqué dans des détails et une clarté remarquables dans le livre de Matousek Using the Borsuk Ulam Theorem.

Oh oh Vous voulez être très très prudent. Les graphiques de contact des polytopes convexes en 3D peuvent réaliser n'importe quel graphique. Étonnamment, la clique peut être réalisée par n polytopes qui sont n copies tournées et traduites du même polytope (les boggles de l'esprit). Voir cet article:

http://www.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/crum.html

Cela implique déjà que vous pouvez encoder des graphes assez méchants sous forme de graphiques d'intersection de triangles en 3D. Voir la section 4 de ce document:

http://sarielhp.org/p/09/set_cover_hard/

BTW, je suis intéressé par une version similaire de votre problème en essayant de comprendre comment se comporte le graphe d'intersection géométrique ...

Le théorème de Schnyder déclare qu'un graphe est plan si sa poset d'incidence a une dimension au plus de 3. Cela a été étendu par Mendez à des complexes simpliciaux arbitraires (voir "Réalisation géométrique de complexes simpliciaux", Graph Drawing 1999: 323-332). Curieusement, il existe un article beaucoup plus ancien avec un titre très similaire "La réalisation géométrique d'un complexe semi-simplicial", mais je soupçonne qu'il s'agit d'un sujet différent.

Propriété très importante: dualité largeur d'arbre.

par exemple, regardez: Tree-width of hyper-graphs and surface duality par Frederic Mazoit,

Le résumé est le suivant:

Dans Graph Minors III, Robertson et Seymour écrivent: "Il semble que la largeur d'arbre d'un graphique planaire et la largeur d'arbre de son dual géométrique soient approximativement égales, en effet, nous nous sommes convaincus qu'elles diffèrent par au plus une." Ils n'en ont jamais donné la preuve. Dans cet article, nous prouvons une généralisation de cette affirmation à l'intégration d'hypergraphes sur des surfaces générales, et nous prouvons que notre limite est serrée.

http://www.labri.fr/perso/mazoit/uploads/Surface_duality_journal.pdf