La somme des sous-ensembles DAG est-elle approximable?

On nous donne un graphe acyclique dirigé $G=(V,E)$ avec un nombre associé à chaque sommet ( ), et un nombre cible .$g:V\to \mathbb{N}$$T\in \mathbb{N}$

Le problème de somme de sous-ensemble DAG (peut exister sous un nom différent, une référence sera excellente) demande s'il existe des sommets , tels que , et est un chemin dans .$v_1,v_2,...,v_k$$\Sigma_{v_i}g(v_i) = T$$v_1\to..\to v_k$$G$

Ce problème est trivialement NP-Complet, car le graphe transitif complet donne le problème de somme de sous-ensemble classique.

Un algorithme d'approximation pour le problème de somme de sous-ensemble DAG est un algorithme avec les propriétés suivantes:

1. S'il existe un chemin avec la somme T, l'algorithme retourne TRUE.
2. S'il n'y a pas de chemin se résumant à un nombre compris entre et pour certains , l'algorithme retourne FAUX.$(1 − c)T$$T$$c\in (0,1)$
3. S'il existe un chemin additionnant un nombre compris entre et , l'algorithme peut produire n'importe quelle réponse.$(1 − c)T$$T$

La somme des sous-ensembles est connue pour être approximable en temps polynomial pour tout .$c>0$

Est-ce la même chose pour DAG-Subset-Sum?

Il me semble que l'algorithme de programmation dynamique temporelle pseudo-polynomiale pour le problème Subset Sum fonctionne également pour ce problème. Pour chaque sommet , nous calculons l'ensemble L i composé de toutes les valeurs possibles de chemins se terminant en v i . Ensuite, nous avons la relation de récurrence: L i = { g ( v i ) } ∪ { x + g ( v i ) ∣ x ∈ ⋃ j ∈ p r e c ( i )$v_i$$L_i$$v_i$ . Suivant un ordre topologique, tous les L i peuvent être calculés en temps O ( K m ) , où K est le poids total et m est le nombre d'arêtes.$L_i=\{g(v_i)\}\cup\{x+g(v_i)\mid x\in \bigcup_{j\in prec(i)} L_j\}$$L_i$$O(Km)$$K$$m$

Je pense que la mise à l'échelle et l'arrondi standard peuvent également être appliqués pour dériver un FPTAS.