Quels sont les exemples naturels de preuves non relativisables?

Si je comprends bien, une preuve que P = NP ou P ≠ NP devrait être non relativisable (comme dans les oracles de la théorie de la récursivité).

Cependant, presque toutes les preuves semblent être relativisables.

Quels sont les bons exemples de preuves non relativisables, du type d'une preuve P = NP / P ≠ NP, qui ne soient ni triviales ni artificielles?

(Je ne suis pas un théoricien de la récursivité, alors veuillez pardonner le manque de citations.)

[EDIT: meilleur poste de mathoverflow ]

Comme le souligne Steven, l'exemple canonique est . Cet effondrement ne relativise pas, dans le sens où il y a un oracle A , sous réserve que I P A ≠ P S P A C E A . L'intuition pour laquelle la preuve connue de ce résultat évite la barrière de la relativisation est qu'elle utilise l'arithmétisation (Yonatan y a fait allusion dans un commentaire): un protocole interactif pour le P S P A C $\mathsf{IP} = \mathsf{PSPACE}$$A$$\mathsf{IP}^A \ne \mathsf{PSPACE}^A$$\mathsf{PSPACE}$problème complet TQBF est donné en considérant une extension d'une formule booléenne quantifiée à un polynôme de faible degré sur un champ convenablement grand. Si on nous donne une formule booléenne relativisée (avec des portes d'oracle), une telle extension n'existe pas.

$\mathsf{C} \subseteq \mathsf{D}$$A$$\tilde{A}$$A$$\mathsf{C}^A \subseteq \mathsf{D}^{\tilde{A}}$ A ˜ A C ˜ A ⊄ D A I P = P S P A C E N P ⊄ $\mathsf{C} \not \subset \mathsf{D}$$A$$\tilde{A}$$\mathsf{C}^{\tilde{A}} \not \subset \mathsf{D}^{A}$. Aaronson et Wigderson montrent que algébrie, mais de nombreux autres résultats, y compris , ne le font pas.$\mathsf{IP} = \mathsf{PSPACE}$$\mathsf{NP} \not \subset \mathsf{P}$

Un exemple récent d'une technique qui ne s'algebrize ni ne relativise est la preuve de Ryan Williams que . La séparation ne algebrize: il y a un oracle et une extension de faible degré de telle sorte que . Intuitivement, la raison pour laquelle la preuve évite la barrière est qu'elle repose sur l'existence d'un algorithme de satisfiabilité plus rapide que trivial pour A ˜ A N E X P ˜ A ⊂ A C C A A C $\mathsf{NEXP} \not \subset \mathsf{ACC}$$A$$\tilde{A}$$\mathsf{NEXP}^{\tilde{A}} \subset \mathsf{ACC}^A$$\mathsf{ACC}$circuits, et l'algorithme utilise les propriétés non relativisantes et non algébriantes de ces circuits. Ryan note dans l'article que tous les algorithmes de satisfiabilité plus rapides que triviaux connus se décomposent lorsque des oracles ou des extensions algébriques d'oracles sont ajoutés.

Il existe également une approche intéressante pour comprendre la relativisation par la logique. Dans un vieux manuscrit, Arora, Impagliazzo et Vazirani définissent un système d'axiomes tel que les résultats relativisants sont exactement ceux qui découlent des axiomes, tandis que les résultats non relativisants sont indépendants du système. Un article d' Impagliazzo, Kabanets et Kolokolova fait quelque chose de similaire pour l'algèbre en introduisant un axiome supplémentaire à ceux définis par Arora, Impagliazzo et Vazirani. Ils montrent que la plupart des résultats non relativisants connus découlent de leurs axiomes, tandis que P vs NP, entre autres, est indépendant d'eux.

Toutes mes excuses si je me suis trompé, je ne suis pas tout à fait un expert.

Voici une liste de preuves non relativisables:

1. Le théorème du PCP

2. L'engagement dépendant de l'instance implique un protocole de connaissance zéro:
   une équivalence entre la connaissance zéro et les engagements

3. Il n'y a pas d'obscurcisseur de circuit "boîte noire virtuelle" efficace pour les circuits généraux:
   une équivalence entre zéro connaissance et engagements

4. PSPACE est réductible à l'évaluation d'un produit succinct de : PSPACe survit à des goulots d'étranglement à trois bits$S_5$
   

5. Contre les prouveurs non emmêlés, NEXP dispose de systèmes de preuve à 2 provers peu interactifs: Systèmes de preuve à
   deux tours et à un tour: leur puissance et leurs problèmes

6. Contre les prouveurs potentiellement enchevêtrés, NEXP a des protocoles MIP plus interactifs:
   une preuve interactive multi-prouveurs pour le son NEXP contre les prouveurs enchevêtrés

7. NP possède des preuves de connaissances NISZK à prouveur efficace avec une extraction parfaite des connaissances dans un modèle de bits cachés à «distribution non standard échantillonnable efficacement», et des preuves de connaissances NIPZK à prouveur efficace dans le modèle (réel) de bits cachés. De plus, si l'échantillonneur est autorisé à avoir une faible probabilité de sortie (et que la solidité n'est requise que lorsque l'échantillonneur ne sort pas ), "NISZK" de la phrase précédente peut être remplacé par "NIPZK" . Jonathan Katz, Sujets avancés en cryptographie, leçon 13⊥ C i π $\perp$$\perp$
   
   Remarque: L'extraction de connaissances parfaite suit par l'inspection de la partie sur la solidité à la page 2. L'extraction de connaissances (non parfaite) est valable pour la même raison que la solidité non parfaite, comme décrit en haut de la page 5. Une connaissance zéro parfaite peut être obtenu en demandant au simulateur d'utiliser la matrice hamiltonienne comme permutation , et certaines des chaînes de bits réelles correspondant aux bits biaisés avec la valeur 0 comme eux-mêmes, juste principalement à différents endroits. La phrase "de plus" suit en ayant la sortie de l'échantillonneur$C_i$$\pi$$\perp$ s'il n'était pas en mesure de choisir un élément parmi {0,1,2,3, ..., n! -1} de manière parfaitement uniforme dans un laps de temps suffisamment court, car un tel choix permettrait la génération parfaitement uniforme d'un matrice de graphe à cycle dirigé ou permutation des sommets.

il s'agit d'une belle enquête sur le terrain par un expert de premier plan qui résume / détaille certains des points des autres réponses jusqu'à présent et a des exemples supplémentaires.

[1] Le rôle de la relativisation dans la théorie de la complexité Fortnow

Plusieurs résultats récents non relativisants dans le domaine des preuves interactives ont amené de nombreuses personnes à revoir l'importance de la relativisation. Dans cet article, nous examinons comment les théoriciens de la complexité utilisent et abusent des résultats d'Oracle. Nous prêtons une attention particulière aux nouveaux systèmes de preuve interactifs et aux résultats de vérification de programme et essayons de comprendre pourquoi ils ne se relativisent pas. Nous donnons de nouveaux résultats qui peuvent nous aider à mieux comprendre ces questions.