Conséquences d'un algorithme temporel quasi-polynomial pour le problème de l'isomorphisme de graphe

Le problème de l’isomorphisme graphique (IG) est sans doute le candidat le mieux connu pour un problème NP-intermédiaire . L'algorithme le plus connu est l'algorithme sous-exponentiel avec la durée d'exécution . On sait que GI n’est pas complet sauf si la hiérarchie polynomiale s’effondre.N$2^{O(\sqrt{n \log n})}$$\mathsf{NP}$

Quelles seraient les conséquences théoriques de la complexité d'un algorithme temporel quasi polynomial pour le problème de l'isomorphisme de graphes?
Un algorithme temporel quasi-polynomial pour GI réfuterait-il des conjectures célèbres de la théorie de la complexité?

D'autres problèmes similaires, tels que le problème de jeu dominant minimal dans les tournois, le problème d'isomorphisme de groupe et le problème d'isomorphisme de tournoi ont des algorithmes de temps quasi-polynomial ( QP ). Les deux derniers problèmes sont réductibles au temps polynomial en GI.

Pouvons-nous efficacement réduire le problème de l'ensemble de dominants minimaux dans les tournois à GI?
Existe-t-il une hypothèse selon laquelle GI serait difficile pour QP?

Mise à jour (2015-12-14) : Babai a publié un avant-projet de document sur arXiv pour son algorithme quasi-polynomial pour GI.

Mise à jour (2017-01-04) : Babai a rétracté l'affirmation selon laquelle l'algorithme est en temps quasi-polynomial. Selon la nouvelle analyse, l'algorithme est en temps subexponentiel. qui est à l'intérieur de .2 n o ( 1 $\exp \exp(\tilde{O}(\sqrt{\lg n}))$$2^{n^{o(1)}}$

Mise à jour (2017-01-09) : Babai a rétabli la revendication de délai quasi-polynomial, remplaçant la procédure incriminée par une procédure plus efficace.

Autant que je sache, si vous vous interrogez simplement sur les conséquences du simple fait (en tant que boîte noire) que GI est dans QP, je pense que la réponse est très petite. La seule chose à laquelle je puisse penser, qui n’est pas un théorème mais une conséquence pour les directions de recherche, est celle de l’ isomorphisme de groupe . Puisque GroupIso se réduit à IG et que nous ne savons même pas si GroupIso est dans P, placer GroupIso dans P peut être considéré comme un obstacle important à la transformation de GI en P (si vous pensez que ce dernier pourrait être le cas).

Cependant, comme l’algorithme trivial pour GroupIso est , à l’époque où la complexité de GI était en hausse à , nous avons eu une longue Il reste encore beaucoup à faire pour améliorer la complexité de l’IG avant que GroupIso ne devienne un obstacle immédiatement pertinent à l’ intégration de l’ IG dans un point P. Cependant, si l’IG est dans QP, GroupIso devient alors un obstacle beaucoup plus pertinent à de nouvelles améliorations de l’IG. (Bien entendu, l'exposant de l'exposant dans le quasi-polynôme est toujours un écart potentiellement pertinent, mais l'écart devient beaucoup plus petit lorsque GI est dans QP.) 2 ~ O ( $n^{\log n + O(1)}$$2^{\tilde O(\sqrt{n})}$

$\varnothing$$\Sigma^*$

Quelles seraient les conséquences théoriques de la complexité d'un algorithme temporel quasi polynomial pour le problème de l'isomorphisme de graphes?

Plus ou moins similaires aux conséquences de l'algorithme temporel polynomial déterministe pour le test de primalité, l'algorithme temporel polynomial déterministe pour la programmation linéaire, et dans l'autre cas, des algorithmes pratiquement efficaces (randomisés) (avec des exemples pathologiques rares où l'algorithme devenait inefficace) étaient connus et utilisé depuis longtemps. Cela confirme l'hypothèse selon laquelle l'efficacité pratique est un bon indicateur de l'existence d'algorithmes théoriques déterministes surmontant les problèmes des exemples pathologiques rares.

Un algorithme temporel quasi-polynomial pour GI réfuterait-il des conjectures célèbres de la théorie de la complexité?

Non, les conjectures vont plutôt au site opposé, à savoir que GI est en P. Puisque GI est en NP, il ne sera pas possible de réfuter ce type de conjecture de si tôt.

Pouvons-nous efficacement réduire le problème de l'ensemble de dominants minimaux dans les tournois à GI?

L'ensemble dominant minimal n'est pas un problème d'isomorphisme, il n'y a donc aucune raison pour qu'il soit supposé être réductible à IG.

Existe-t-il une hypothèse selon laquelle GI serait difficile pour QP?

Nous ne savons même pas comment réduire le problème d'isomorphisme de chaîne à GI, et il s'agit au moins d'un problème d'isomorphisme. La preuve de Babai a montré que l'isomorphisme des cordes était dans QP, alors ... Et qu'est-ce qui est difficile pour QP même supposé vouloir dire? Dur sous les réductions de temps polynomiales?

Depuis l'introduction de Sur le groupe et les problèmes d'isomorphisme de couleur de François Le Gall et David J. Rosenbaum

La complexité des problèmes de test d’isomorphisme est digne d’être étudiée à la fois parce qu’il s’agit de questions de calcul fondamentales et aussi parce que beaucoup d’entre eux ne sont pas connus pour être dans P, mais semblent néanmoins être plus faciles que les problèmes NP-complets. Le plus étudié de ces problèmes est le problème de l’isomorphisme des graphes.

$\mathsf{GI}^*$$\mathsf{GrI}^*$sont définis (dans l'article ci-dessus, mais les auteurs se demandent à juste titre pourquoi personne ne l'a fait auparavant), ce qui ajoute les pièces manquantes au problème de l'isomorphisme des chaînes. (Et le problème d'isomorphisme de couleur est simplement un nom différent pour le problème d'isomorphisme de chaîne. Le problème d'automorphisme de couleur de nom remonte aux papiers initiaux de Babai et Luks, l'isomorphisme de chaîne de nom apparaît plus tard dans leur article sur l'étiquetage canonique.)

$\mathsf{GI}^*$

Edit: Cette réponse a été donnée dans le contexte de la rétractation du résultat de Babai, avant qu'il n'annonce un correctif. Cela suggère que la légère généralisation du problème d'isomorphisme de graphe suggérée par le problème d'isomorphisme de chaîne est le problème vraiment important. On s’attend implicitement à ce que tout algorithme raisonnable pour le problème de l’isomorphisme des graphes conduise à un algorithme similaire pour le problème de l’isomorphisme généralisé des graphes. Le problème généralisé est le temps polynomial équivalent au problème stabilisateur d'ensemble , au problème d'intersection de groupe , au problème d'intersection de coset, au problème de transporteur d'ensemble , ... L'idée derrière cette attente est que le problème généralisé se produira dans la partie récursivede tout algorithme raisonnable, il doit donc être traité de toute façon. (Et il est fort possible que le problème généralisé soit le temps polynomial équivalent à l'isomorphisme de graphe.)

Les commentaires de Joshua Grochow indiquent maintenant que je n'ai pas réussi à expliquer l'importance conceptuelle des pièces manquantes du problème de l'isomorphisme des cordes. Pour les structures infinies, il peut être plus facile de comprendre qu'un isomorphisme valide doit non seulement préserver la structure donnée, mais également appartenir à une catégorie appropriée de fonctions (par exemple, la catégorie des fonctions continues). Pour les structures finies, le phénomène analogue se produit principalement pour les structures de quotient, où la catégorie de fonctions appropriée doit être compatible avec les quotients donnés. Le truc Johnson est un exemple typique de tels quotients, par exemple, la logique de partition fonctionne sur les deux sous-ensembles d'éléments d'un ensemble de base. Notez également que la restriction de la catégorie autorisée pour les isomorphismes facilite souvent le problème du test d’isomorphisme,

Le problème des généralisations du problème d’isomorphisme de graphe est de savoir où s’arrêter. Pourquoi ne pas généraliser jusqu'à englober le problème de l'isomorphisme de groupe de permutation? Cette question est vraiment difficile, car de nombreux résultats non triviaux pour l'isomorphisme des graphes se répercuteront probablement également sur l'isomorphisme du groupe de permutation. Mais ici, il semble plus raisonnable de traiter la théorie des groupes de permutation informatique comme un sujet à part entière, même si elle a effectivement un lien étroit avec le problème de l’isomorphisme des graphes.