Quels théorèmes intéressants dans TCS s'appuient sur l'axiome du choix? (Ou bien, l'axiome de la détermination?)

Les mathématiciens s’inquiètent parfois de l’axiome du choix (AC) et de l’axiome de la détermination (AD).

Axiom of Choice : Compte tenu de toute collection des ensembles non vides, il y a une fonction qui, étant donné un ensemble dans , retourne un membre de . f S C${\cal C}$$f$$S$${\cal C}$$S$

Axiome de détermination : Soit un ensemble de chaînes de bits infiniment longues. Alice et Bob jouent à un jeu où Alice choisit un premier bit , Bob choisit un second bit , etc., jusqu'à ce qu'une chaîne infinie soit construite. Alice gagne le jeu si , Bob gagne le jeu si . L'hypothèse est que pour chaque , il existe une stratégie gagnante pour l'un des joueurs. (Par exemple, si ne se compose que de la chaîne tout-un, Bob peut remporter de nombreux coups.)b 1 b 2 x = b 1 b 2 ⋯ x ∈ S x ∉ S S $S$$b_1$$b_2$$x = b_1 b_2 \cdots$$x \in S$$x \not \in S$ $S$$S$

On sait que ces deux axiomes sont incompatibles. (Pensez-y ou allez ici .)

D'autres mathématiciens accordent peu ou pas d'attention à l'utilisation de ces axiomes dans une preuve. Ils sembleraient être presque hors de propos pour l'informatique théorique, puisque nous pensons que nous travaillons principalement avec des objets finis. Cependant, étant donné que TCS définit les problèmes de décision de calcul comme des chaînes de bits infinies et que nous mesurons (par exemple) la complexité temporelle d’un algorithme en tant que fonction asymptotique sur les valeurs naturelles, il est toujours possible que l’utilisation de l’un de ces axiomes risque de se glisser. dans certaines preuves.

Quel est l'exemple le plus frappant dans TCS où vous savez où l'un de ces axiomes est nécessaire ? (Connaissez-vous des exemples?)

Juste pour en déduire un peu, notons qu'un argument de diagonalisation (sur l'ensemble de toutes les machines de Turing, par exemple) n'est pas une application de l'axiome du choix. Bien que le langage défini par une machine de Turing soit une chaîne de bits infinie, chaque machine de Turing a une description finie. Par conséquent, nous n’exigeons pas de fonction de choix pour une infinité d’ensembles infinis.

(Je mets beaucoup de tags car je ne sais pas d'où proviendront les exemples.)

Toute déclaration arithmétique prouvable dans ZFC est prouvable dans ZF et n'a donc pas besoin de l'axiome de choix. Par une expression "arithmétique", j'entends une déclaration dans le langage de premier ordre, l'arithmétique, ce qui signifie qu'elle peut être énoncée en utilisant uniquement des quantificateurs sur les nombres naturels ("pour tous les nombres naturels x" ou "il existe un nombre naturel x"), sans quantifier sur des ensembles de nombres naturels. À première vue, il peut sembler très restrictif d’interdire la quantification sur des ensembles de nombres entiers; cependant, les ensembles finis d'entiers peuvent être "codés" à l'aide d'un seul entier, il est donc correct de quantifier des ensembles finis d'entiers.

Pratiquement toute déclaration d’intérêt dans TCS peut, avec peut-être un peu plus de précision, être formulée comme une déclaration arithmétique, et n’a donc pas besoin de l’axiome de choix. Par exemple, ressemble à première vue à une affirmation sur des ensembles infinis d’entiers, mais peut être reformulé de la manière suivante: "pour chaque machine de Turing à temps polynomial, il existe une instance SAT indiquant qu’elle se trompe", ce qui est une arithmétique. déclaration. Ainsi, ma réponse à la question de Ryan est la suivante: "Il n'y en a pas que je sache."$P\ne NP$

Mais attendez, vous pouvez dire, qu'en est-il des déclarations arithmétiques dont la preuve nécessite quelque chose comme le lemme de Koenig ou le théorème de Kruskal? Celles-ci ne nécessitent-elles pas une forme faible de l'axiome de choix? La réponse est que cela dépend de la façon dont vous énoncez le résultat en question. Par exemple, si vous énoncez le théorème mineur de graphe sous la forme "étant donné tout ensemble infini de graphes non étiquetés, il doit en exister deux de sorte que l'un soit mineur de l'autre", il faut alors un certain nombre de choix pour parcourir votre ensemble infini de données, en sélectionnant des sommets, des sous-graphes, etc. [EDIT: J'ai commis une erreur ici. Comme Emil Jeřábek explique, le théorʻeme mineur du graphe - ou du moins son énoncé le plus naturel en l'absence de AC - peut être prouvé dans ZF. Mais modulo cette erreur, ce que je dis ci-dessous est toujours essentiellement correct. ] Cependant, si à la place vous écrivez un codage particulier en nombres naturels de la relation mineure sur des graphes finis étiquetés, et que vous énoncez le théorème mineur du graphe en tant qu'énoncé de cet ordre partiel particulier, cet énoncé devient alors arithmétique et ne nécessite pas AC la preuve.

La plupart des gens pensent que "l'essence combinatoire" du théorème mineur de graphe est déjà capturée par la version qui corrige un encodage particulier, et que la nécessité d'invoquer AC pour tout étiqueter, dans le cas où vous êtes présenté avec le paramètre général version théorique du problème, est en quelque sorte un artefact non pertinent d’une décision d’utiliser la théorie des ensembles plutôt que l’arithmétique comme fondement logique. Si vous ressentez la même chose, le théorème mineur du graphe ne nécessite pas AC. (Voir aussi ce message d’Ali Enayat sur la liste de diffusion Foundations of Mathematics, écrite en réponse à une question similaire que j’avais déjà posée.)

L’exemple du nombre chromatique du plan est lui aussi une question d’interprétation. Vous pouvez poser diverses questions qui se révèlent être équivalentes si vous supposez AC, mais qui sont des questions distinctes si vous ne supposez pas AC. Du point de vue du TCS, le cœur combinatoire de la question est la colorabilité des sous-graphes finis du plan et le fait que vous pouvez ensuite (si vous le souhaitez) utiliser un argument de compacité (c’est là que AC entre en jeu) pour conclure quelque chose. à propos du nombre chromatique de tout le plan est amusant, mais d’intérêt quelque peu tangentiel. Donc, je ne pense pas que ce soit un très bon exemple.

Je pense qu’au bout du compte, vous aurez peut-être plus de chance de demander s’il existe des questions relevant de la TCS qui nécessitent de grands axiomes cardinaux pour être résolues (plutôt que AC). Les travaux de Harvey Friedman ont montré que certaines déclarations finitaires en théorie des graphes peuvent nécessiter de grands axiomes cardinaux (ou au moins la cohérence 1 de tels axiomes). Les exemples de Friedman jusqu'à présent sont légèrement artificiels, mais je ne serais pas surpris de voir des exemples similaires se reproduire "naturellement" dans le TCS de notre vivant.

Je crois comprendre que la preuve connue du théorème de Robertson-Seymour utilise l’axiome du choix (via le théorème de Kruskal). Ceci est extrêmement intéressant du point de vue du TCS, car le théorème de Robertson-Seymour implique que le test d'adhésion dans toute famille de graphes peu fermée peut être effectué en temps polynomial. En d'autres termes, l'axiome du choix peut être utilisé indirectement pour prouver que des algorithmes de temps polynomiaux existent pour certains problèmes, sans pour autant les construire.

Cependant, il se peut que cela ne soit pas exactement ce que vous recherchez, car il n’est pas clair si AC est réellement nécessaire.

Cela concerne la réponse donnée par Janne Korhonen.

Dans les années 80 et 90, de nombreux résultats ont tenté de caractériser les systèmes d'axiomes (en d'autres termes, la théorie arithmétique) nécessaires pour prouver les extensions du théorème de Kruskal (KTT; le KTT original date de 1960). Harvey Friedman a notamment obtenu plusieurs résultats à cet égard (voir SG Simpson. Invalidité de certaines propriétés combinatoires d'arbres finis . Dans LA Harrington et coll., Rédacteur en chef de la recherche sur les fondements mathématiques de Harvey Friedman. Elsevier, North-Holland, 1985). . Ces résultats ont montré que (certaines extensions de) KTT doivent utiliser des axiomes de compréhension "forts" (c'est-à-dire des axiomes disant que certains ensembles de grande complexité logique existent). Je ne sais pas précisément si les extensions de KTT dans ZF peuvent être prouvées (sans l’axiome du choix).

Parallèlement à ce flux de résultats, une tentative de connexion au système de contrôle ("Theory B") via des systèmes de réécriture a eu lieu . L'idée est de construire des systèmes de réécriture (considérez-les comme une sorte de programmation fonctionnelle ou de programmes lambda-calcul) pour lesquels leur terminaison dépend de certaines (extensions) de KTT (la connexion originale entre la terminaison de systèmes de réécriture et de KTT a été prouvée par N Dershowitz (1982)). Cela implique que pour montrer que certains programmes se terminent, il faut des axiomes forts (car les extensions de KTT ont besoin de tels axiomes). Pour ce type de résultats, voir par exemple A. Weiermann, Limites de complexité pour certaines formes finies du théorème de Kruskal , Journal of Symbolic Computation 18 (1994), 463-488.

Le problème de Hadwiger-Nelson est lié tangentiellement et demande le nombre minimum de couleurs nécessaire pour colorer le plan points à une distance correspondant exactement à 1 ayant des couleurs différentes. Il existe des sous-graphes finis qui nécessitent quatre couleurs et il existe une coloration à sept en construisant par mosaïque du plan avec des hexagones.${\mathbb R}^2$

Dans Shelah et Soifer, "Axiome de choix et numéro chromatique du plan", il est montré que si tous les sous-graphes finis du plan sont à quatre chromes, alors

• Si vous assumez l’axiome de choix, l’avion a quatre couleurs.
• Si vous supposez le principe des choix dépendants et que tous les ensembles sont mesurables par Lebesgue, le plan est alors à cinq, six ou sept couleurs.

Une partie du travail d' Olivier Finkel semble liée à la question - bien que pas nécessairement explicite à propos de l'axiome du choix lui-même - et conforme à la réponse de Timothy Chow. Par exemple, citant l'abrégé des théorèmes d'incomplétude, des grands cardinaux et des automates sur des mots finis , TAMC 2017 ,

on peut construire différents types d'automates sur des mots finis pour lesquels certaines propriétés élémentaires sont en réalité indépendantes des théories d'ensembles fortes comme , pour les entiers . n ≥ $T_n := ZFC + \text{``There exist (at least) $n$ inaccessible cardinals''}$$n \geq 0$

[Ce n'est pas une réponse directe à votre question, pourtant cela pourrait être suggestif et / ou informatif pour certaines personnes.]

Le sondage P vs. NP de William Gasarch donne quelques statistiques sur "comment P / NP sera résolu":

1. 61 pensaient P ≠ NP.
2. 9 pensé P = NP.
3. 4 pensais que c'était indépendant . Bien qu'aucun système axiome particulier n'ait été mentionné, je suppose qu'ils pensent qu'il est indépendant de ZFC .
4. 3 vient de dire qu'il n'est PAS indépendant de l'arithmétique récursive primitive.
5. J'ai dit que cela dépendrait du modèle.
6. 22 n'ont pas exprimé d'opinion.

Wikipedia a un point de vue intéressant sur l'indépendance:

… Ces obstacles ont également conduit certains informaticiens à suggérer que le problème P versus NP pourrait être indépendant des systèmes axiomes standard tels que ZFC (ils ne peuvent être ni prouvés ni réfutés à l'intérieur de ceux-ci). L’interprétation d’un résultat d’indépendance peut être soit qu’il n’existe pas d’algorithme temporel polynomial pour un problème NP-complet complet, et qu’une telle preuve ne peut pas être construite dans (par exemple) ZFC, ou que des algorithmes temporels polynomiaux pour des problèmes NP-complets existent, mais il est impossible de prouver dans ZFC que de tels algorithmes sont corrects [ 1]. Cependant, s’il est possible de démontrer, à l’aide de techniques du type actuellement connues, que le problème ne peut être résolu même avec des hypothèses beaucoup plus faibles, prolongeant les axiomes de Peano (AP) pour l’arithmétique des nombres entiers, il existerait nécessairement algorithmes polynomiaux pour chaque problème de NP [ 2 ]. Par conséquent, si l’on pense (comme le font la plupart des théoriciens de la complexité) que tous les problèmes de NP n’ont pas des algorithmes efficaces, il s'ensuivrait que des preuves de l’indépendance utilisant ces techniques ne pourraient être possibles. De plus, ce résultat implique que prouver l’indépendance vis-à-vis de PA ou de ZFC en utilisant les techniques actuellement connues n’est pas plus facile que de prouver l’existence d’algorithmes efficaces pour tous les problèmes de NP.

Mon impression à la lecture de cette question est qu’aucun exemple approprié de problème nécessitant plus que la simple PA (et encore moins ZF) n’a été donné, et l’excellente réponse de Timothy Chow explique pourquoi il est si difficile de trouver des exemples. Cependant, il y a quelques exemples de systèmes de caméras de télévision qui vont au-delà du domaine de l'arithmétique, j'ai donc pensé donner un théorème qui requiert strictement plus que . Bien qu’il n’exige pas l’axiome complet du choix, il nécessite toutefois une version plus faible.$ZF$

Le De-Bruijin Erdôs théorème théorie dans le graphique indique que le nombre chromatique d'un graphe, , est le sup de en tant que se situe sur l' ensemble des sous - graphes finis de . Notez que la conclusion est trivialement satisfaite pour le fini , c’est donc une déclaration intéressante sur les graphes infinis. Ce théorème a beaucoup de preuves différentes, mais mon préféré est d'évoquer le théorème de Tychonov.χ ( H ) H G $G$$\chi(H)$$H$$G$$G$

Comme mentionné dans l'article de Wikipédia auquel je me suis référé, ce théorème nécessite véritablement plus que , mais il ne va pas jusqu'à exiger "l'axiome complet du choix". Il en existe une preuve horriblement illisible sur la page Wikipedia, mais le théorème relève du modèle de Solovay en raison d'une construction intelligente faisant appel à la théorie de la mesure.$ZF$