Approximation du rang de signe d'une matrice

Le rang de signe d'une matrice A avec + 1, -1 entrées est le plus petit rang (sur les réels) d'une matrice B qui a le même motif de signe que A (c'est-à-dire pour tous ). Cette notion est importante dans la complexité de la communication et la théorie de l'apprentissage.$A_{ij}B_{ij}>0$$i,j$

Ma question est la suivante: existe-t-il des algorithmes connus (temps sous-exponentiel) qui rapprochent le signe-rang d'une matrice à l'intérieur d'un facteur ?$o(n)$

(Je connais la borne inférieure de Forster sur le rang des signes en termes de norme spectrale, mais cela ne donne pas un rapport d'approximation meilleur que en général.)$\Omega(n)$

Je pense que c'est une question ouverte.

Lee et Schraibman dans "Un algorithme d'approximation pour le rang d'approximation" montrent que le rang d'approximation peut être approché à un facteur constant par un algorithme de temps polynomial. Pour ce faire, ils associent une quantité de programmation semi- au rang d'approximation, où est un paramètre fini supérieur à 1. Prendre à la limite de l'infini donne le rang de signe mais leur résultat ne correspond pas donner quoi que ce soit dans ce cadre.$\gamma_2^\alpha$$\alpha$$\alpha$

Des travaux récents d'Alon, Moran et Yehudayoff donnent un algorithme d'approximation . Soit soit le VC-dimension d'une matrice de signe . L'idée est que$O(n/\log n)$$d$$S$

• il existe une matrice efficacement calculable avec un motif de signe tel que ;$M$$S$$\mathrm{rank}\ M = O(n^{1-1/d})$
• le rang de signe de est au moins .$S$$d$

Donc, l'algorithme calcule et sort son rang. Le rapport d'approximation est , qui est maximisé à .$M$$O(n^{1-1/d}/d)$$d = \Theta(\log n)$