Comptez rapidement le nombre d'arbres couvrant

Soit le nombre d'arbres couvrant un graphe à sommets. Il existe un algorithme qui calcule dans les opérations arithmétiques . Cet algorithme consiste à calculer , où est le laplacien de et est la matrice constituée uniquement de . Pour plus d'informations sur cet algorithme, voir Biggs - Théorie des graphes algébriques ou cette question Math SE . $t(G)$ $G$ $n$ $t(G)$ $O(n^3)$ $\frac{1}{n^2} \det(J + Q)$ $Q$ $G$ $J$ $1$

Je me demande s'il existe un moyen de calculer $t(G)$ plus rapidement. (Oui, il existe des algorithmes plus rapides que $O(n^3)$ pour calculer le déterminant, mais je suis intéressé par une nouvelle approche.)

Il est également intéressé à considérer des familles spéciales de graphes (planaires, peut-être?).

Par exemple, pour les graphes circulants, $t(G)$ peut être calculé dans les opérations arithmétiques $O(n \lg n)$ via l'identité $t(G) = \frac{1}{n} \lambda_1 \dotsm \lambda_{n-1}$ , où $\lambda_i$ sont des valeurs propres non nulles de la matrice laplacienne de $G$ , qui peuvent être calculées rapidement pour les graphes circulants. (Représentez la première ligne comme un polynôme, puis calculez-la sur les $n$ ième racines de l'unité - cette étape utilise la transformation de Fourier discrète et peut être effectuée dans les opérations arithmétiques $O(n \lg n)$ .)

Merci beaucoup!

— Finsky
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Sergey, j'ai essayé de modifier votre question pour améliorer la clarté. Veuillez vérifier que j'ai bien compris votre question et que je n'ai introduit aucune erreur.

— Tyson Williams

Voici un exemple plus général des familles graphique où trouver la complexité peut être fait plus rapidement: Cayley graphiques pour les groupes abéliens avec des générateurs mis , tels que . Nous savons que les valeurs propres d'une telle matrice sont , où sont différents caractères du groupe. Tous les caractères sont faciles à trouver (pour plus d'informations, consultez cet article ), le calcul de ces caractères est une FFT à dimensions (voir le chapitre de Cormen et al sur la FFT), c'est-à-dire peut être fait en .

G

$G$

S

$S$

S^{- 1} = S

$S^{-1} = S$

\sum_{h \in S} χ (h)

$\sum_{h \in S} \chi (h)$

χ

$\chi$

n

$n$

O (n \lg n)

$O(n \lg n)$

— Finsky

Pour plus d'informations sur les graphiques Cayley, consultez ce livre .

— Finsky

Faire de l'algèbre linéaire avec le laplacien plutôt qu'avec une matrice générale est souvent plus facile. Je me demande si cela peut être pertinent.

— Gil Kalai

Pourriez-vous, s'il vous plaît, être plus précis, si possible, fournir quelques exemples, même si ce n'est pas directement lié au sujet en discussion. Je vous remercie.

— Finsky

On sait que, pour de largeur d'arbre bornée, le polynôme Tutte peut être évalué à n'importe quel utilisant des opérations arithmétiques . Si est connecté, alors . $G$ $T(G;x,y)$ $(x,y)$ $O(n)$ $G$ $t(G)=T(G;1,1)$

— Radu Curticapean
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