Algorithmes constructivement efficaces sans correction et preuve d'efficacité efficaces

Je recherche des exemples naturels d' algorithmes efficaces (ie en temps polynomial) st

leur exactitude et leur efficacité peuvent être prouvées de manière constructive (par exemple en ou ), mais $PRA$ $HA$
aucune preuve utilisant uniquement des concepts efficaces n'est connue (c'est-à-dire que nous ne savons pas prouver leur exactitude et leur efficacité dans ou ). $TV^0$ $S^1_2$

Je peux moi-même faire des exemples artificiels. Cependant, je veux des exemples naturels intéressants, c'est-à-dire des algorithmes étudiés pour eux-mêmes, pas créés uniquement pour répondre à ce type de questions.

— Kaveh
source

Peut-être quelque chose de la théorie des automates, où un algorithme est facile, mais pour montrer qu'il fonctionne, il faut considérer tous les sous-ensembles de quelque chose ou autre?

— Andrej Bauer

Que diriez-vous de la vérification de la primalité polynomiale? Cette preuve est susceptible d'être suffisamment compliquée pour être difficile à coller à l'intérieur de

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— Andrej Bauer

@Neel, en fait la thèse d'Emil " Principe du trou de pige faible et calcul aléatoire " concerne la formalisation d'algorithmes probabilistes. Un axiome principal nécessaire pour formaliser certains d'entre eux semble être le comptage approximatif qui ne fait pas partie de

. Je pense qu'il pourrait être plus simple de s'en tenir au cas déterministe des polytimes avec

T V^{0}

$TV^0$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

T V^{0}

$TV^0$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— Kaveh

ps: Il serait plus intéressant de prouver que l'exactitude / l'efficacité des algorithmes ne sont pas prouvables dans ces théories, ou du moins sont équivalentes à des déclarations qui sont considérées comme non prouvables en elles. Cependant, demander cela est probablement trop avec ce que nous savons actuellement.

— Kaveh

@Neel, la plupart des probabilités pertinentes peuvent être obtenues dans des systèmes de premier ordre, car vous n'avez jamais vraiment besoin de connaître la probabilité exacte d'un événement, vous n'avez généralement qu'à comparer cette probabilité à certains nombres rationnels.

— François G. Dorais

Réponses:

C'est la même idée que la réponse d'Andrej mais avec plus de détails.

Krajicek et Pudlak [ LNCS 960, 1995, pp. 210-220 ] ont montré que si est une propriété qui définit des nombres premiers dans le modèle standard et $P(x)$ $\Sigma^b_1$

S_{2}^{1} ⊢ \neg P (X) \to (\exists y_{1}, y_{2}) (1 < y_{1}, y_{2} < X \land X = y_{1} y_{2})

$S^1_2 \vdash \lnot P(x) \to (\exists y_1,y_2)(1 < y_1, y_2 < x \land x = y_1y_2)$ puis il y a un algorithme de factorisation temporelle polynomiale. Cela donne un tas d'exemples puisque tout algorithme NP pour le test de primalité produit essentiellement une telle formule

. En particulier, le test de primalité AKS donne une telle formule (lors d'une refonte appropriée dans le langage de

). L'article de Krajicek et Pudlak donne davantage d'exemples de ce type liés à la cryptographie, mais il est antérieur à AKS et aux avancées connexes de quelques années.

Σ_{1}^{b}

$\Sigma^b_1$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— François G. Dorais
source

$\mathrm{TC}^0$ $\mathit{VTC}^0$

$\mathit{TV}^0$ $\mathit{VTC}^0$ $\mathrm{TC}^0$

$\left(\frac an\right)$

$p$ $\left(\frac ap\right)=1$ $a$ $p$

$S^1_2$

Une autre classe d'exemples est donnée par les tests d'irréductibilité et les algorithmes de factorisation pour les polynômes (principalement sur les champs finis et sur les rationnels). Ceux-ci s'appuient invariablement sur le petit théorème de Fermat ou ses généralisations (entre autres), et en tant que tels ne sont pas connus pour être formalisables dans une théorie appropriée de l'arithmétique bornée. En règle générale, ces algorithmes sont randomisés, mais pour des exemples déterministes de temps polynomial, on peut prendre le test d'irréductibilité de Rabin ou l' algorithme de racine carrée de Tonelli – Shanks (formulé de sorte qu'un non-résidu quadratique soit requis comme partie de l'entrée).

— Emil Jeřábek soutient Monica
source

Le test de primalité AKS semble être un bon candidat si l'on en croit Wikipédia.

Cependant, je m'attendrais à ce qu'un tel exemple soit difficile à trouver. Les preuves existantes vont être formulées de manière à ce qu'elles ne soient évidemment pas faites en arithmétique bornée, mais elles seront probablement "adaptables" à l'arithmétique bornée avec plus ou moins d'effort (généralement plus).

— Andrej Bauer
source

S_{2}^{1}

$S^1_2$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

Il y a un merveilleux article de Krajicek et Pudlak qui donne un tas d'autres exemples: karlin.mff.cuni.cz/~krajicek/j-crypto.ps

— François G. Dorais

@ François, pourquoi ne pas poster une réponse? :)

— Kaveh

Donc, j'obtiens le plus grand nombre de votes positifs pour faire une première supposition chanceuse, tandis que d'autres savent réellement ce qui se passe. Les mathématiques sont comme MTV.

— Andrej Bauer