À propos d'Inverse 3-SAT

Contexte : Kavvadias et Sideri ont montré que le problème inverse 3-SAT est coNP Complet: Étant donné un ensemble de modèles sur n variables, existe-t-il une formule 3-CNF telle que ϕ est son ensemble exact de modèles? Une formule candidate immédiate apparaît, qui est la conjonction de toutes les 3 clauses satisfaites par tous les modèles dans ϕ .$\phi$$n$$\phi$$\phi$

Puisqu'elle contient toutes les 3 clauses qu'elle implique, cette formule candidate peut facilement être transformée en une formule équivalente qui est 3 fermées sous résolution - La 3-fermeture d'une formule est le sous-ensemble de sa fermeture sous résolution ne contenant que des clauses de taille 3 ou moins. Une formule CNF est fermée sous résolution si tous les résolvants possibles sont subsumés par une clause de la formule - une clause c 1 est subsumée par une clause c 2 si tous les littéraux de c 2 sont en c 1 .$F_{\phi}$$c_1$$c_2$$c_2$$c_1$

Étant donné , une affectation partielle des variables telle que I n'est un sous-ensemble d'aucun modèle de ϕ .$I$$I$$\phi$

Appelez , la formule induite en appliquant I à F ϕ : toute clause qui contient un littéral qui évalue à t r u e sous I est supprimée de la formule et tout littéral qui évalue à f a l s e sous I est supprimé de toutes les clauses .$F_{\phi|I}$$I$$F_{\phi}$$true$$I$$false$$I$

Appelez , la formule dérivée de F ϕ | I par toutes les résolutions possibles à 3 limites (dans lesquelles le résolvant et les opérandes ont au plus 3 littéraux) et subsomptions.$G_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$

Question : 3 fermé en vertu de la résolution?$G_{\phi|I}$

Réponse: Oui (même si un sous-ensemble d'un modèle de ϕ )$I$$\phi$

Soit l'ensemble des clauses dérivant de F ϕ ∪ F ϕ | I par toutes les résolutions et subsomptions possibles à 3 limites ( R | I est la fermeture à 3 limites de F ϕ ∪ F ϕ | I ). Étant donné c une clause impliquée par F ϕ , il existe au moins un sous-ensemble de R | I dont les clauses impliquent c . Nommez R c un tel sous-ensemble.$R_{|I}$$F_{\phi} \cup F_{\phi|I}$$R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$F_{\phi}$$R_{|I}$$c$$R_c$

Soit la propriété suivante: Pour tout c impliqué par F ϕ tel que | c | Je | ≤ 3 ,$P(k)$$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}| \le 3$

telle que | R c | ≤ k ⇒ c | I est subsumé par une clause ∈ G ϕ | Je$[\exists R_c \subseteq R_{|I}$$|R_c|\le k \Rightarrow c_{|I}$$\in G_{\phi|I}]$

Ici commence la récurrence. Étant donné impliqué par F ϕ tel que | c | Je | ≤ 3 , c'est-à-dire c | I ∈ la 3-fermeture de F ϕ | Je .$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}|\le 3$$c_{|I} \in$$F_{\phi|I}$

1. . Si ∃ R c ⊆ R | I / | R c | = 1 alors R c = { d } ( d ∈ F ϕ ∪ F ϕ | I subsume c ) et c | I est subsumé par d | I ∈ F ϕ | I (notez que toute clause de F ϕ |$k=1$$\exists R_c \subseteq R_{|I} / |R_c|=1$$R_c=\{d\}$$d \in F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$c_{|I}$$d_{|I} \in F_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$est subsumé par une clause de ). Ainsi P ( 1 ) .$G_{\phi|I}$$P(1)$

2. Supposons pour k ≥ 1 . Si ∃ R c ⊆ R | Je telle que | R c | ≤ k + 1 (et aucun autre R c de taille 1 tel que c ∉ F ϕ et | c | > 3 ) supposent alors c = ( α β γ L I ) où α , β $P(k)$$k\ge1$$\exists R_{c}\subseteq R_{|I}$$|R_{c}|\le k+1$$R_{c}$$c\notin F_{\phi}$$|c|>3$$c=(\alpha \beta \gamma L_{I})$ sont des littéraux non définis par I et L I est un sous-ensemble de littéraux tous évalués à 0 sous I ( L I ≠ ∅ ) , c'est-à-dire c | I = ( α β γ ) , avec α , β , γ pas nécessairement différents. $\alpha ,\beta ,\gamma$$I$$L_{I}$$I (L_I \neq \varnothing)$$c_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\alpha ,\beta ,\gamma$

3. Supprimer une clause de R c telle que | d i | Je | < | d i | ≤ 3 , en d'autres termes, tel que d i contient un littéral de L I (il y a au moins une telle clause dans R c puisque L I ≠ ∅ ) et | d i | Je | ≤ 2 .$d_{i}$$R_{c}$$|d_{i|I}|<|d_{i}|\le3$$d_{i}$$L_{I}$$R_{c}$$L_I \neq \varnothing$$|d_{i|I}|\leq 2$

4. La taille de l'ensemble restant est ≤ k . Si une certaine clause c ′ = ( α β γ L ′ I ) est impliquée par R c ∖ d i (où L ′ I est un sous-ensemble de littéraux évalués tous à 0 sous I ) alors | c ′ | Je | = 3 et ∃ R c ′ = R c ∖ $R_{c}\setminus d_{i}$$\le k$$c'=(\alpha \beta \gamma L'_{I})$$R_{c}\setminus d_{i}$$L'_{I}$$I$$|c'_{|I}|=3$ telle que | R c ′ | ≤k. ParP(k), c ′ | I =(αβγ)est alors subsumé par une clause∈ G ϕ | I , induisantP(k+1)pourc.$\exists R_{c'}=R_{c}\setminus d_{i}\subseteq R_{|I}$$|R_{c'}|\le k$$P(k)$$c'_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\in G_{\phi|I}$$P(k+1)$$c$

5. Si contient ˉ α ou ˉ β ou ˉ γ alors d i | Il est inutile d'impliquer [une clause subsumant] c . Alors R c ∖ d i implique c , induisant P ( k + 1 ) comme montré précédemment.$d_{i|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}$$c$$R_{c}\setminus d_{i}$$c$$P(k+1)$

6. Si subsume c | I alors P ( k + 1 ) est satisfait pour c .$d_{i|I}\in F_{\phi|I}$$c_{|I}$$P(k+1)$$c$

7. Si ne subsume pas c | I et ne contient pas ˉ α ou ˉ β ou ˉ γ alors soit d i | I = ( x ) ou d i | I = ( a x ) ou d i | I = ( x y ) , où x et y ∉ { α β $d_{i|I}$$c_{|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}=(x)$$d_{i|I}=(ax)$$d_{i|I}=(xy)$$x$$y$ et ne sont pas définis par I , et un ∈ { α β γ } .$\notin\{\alpha \beta \gamma \}$$I$$a \in\{\alpha \beta \gamma \}$

   • Si alors R c ∖ d i implique ( ˉ x α β γ L I ) (rappelons qu'impliquer une certaine clause C signifie impliquer une clause qui subsume C ). Puisque toute résolution avec d i | I = ( x ) car l'opérande supprime ˉ x de l'autre opérande alors aucune clause de R c ∖ d $d_{i|I}=(x)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$C$$C$$d_{i|I}=(x)$$\bar{x}$$R_{c}\setminus d_{i}$contient (puisque R c ∖ d i ⊆ R | I qui est la fermeture 3-limitée de F ϕ ∪ F ϕ | I ). Alors R c ∖ d i implique ( α β γ L I ) , induisant P ( k + 1 ) comme indiqué au point (4).$\bar x$$R_{c}\setminus d_{i} \subseteq R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$

   • Si alors R c ∖ d i implique ( ˉ x α β γ L I ) . Remplacez ˉ x par a dans chaque clause possible de R c ∖ d i (si la nouvelle clause est subsumée par une clause de R | I , conservez plutôt la clause de subsumation. Quoi qu'il en soit, la clause de remplacement est dans R | I ). Nom R $d_{i|I}=(ax)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$a$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$$R_{|I}$ l'ensemble résultant ( R c , d i ⊆ R | I ). Alors R c , d i implique(αβγ L I ), induisantP(k+1)comme ci-dessus.$R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$

   • Si alors R c ∖ d i implique ( ˉ x α β γ L I ) et ( ˉ y α β γ L I ) . Remplacer ˉ x par y dans chaque clause possible de R c ∖ d i (comme ci-dessus, si la nouvelle clause est subsumée par une clause de R |$d_{i|I}=(xy)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$y$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$, conservez plutôt la clause subsumante). Nommez l'ensemble résultant ( R c , d i ⊆ R | I ). Alors R c , d i implique ( y α β γ L I ) . Puisqu'il implique aussi ( ˉ y α β γ L I ) alors il implique le résolvant ( α β γ L I ) , induisant $R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$({y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$ .$P(k+1)$

Par cette récurrence, toute clause la 3-fermeture de F ϕ | I est subsumé par une clause ∈ G ϕ | Moi (dans l'autre sens aussi). Alors G ϕ | I correspond à la 3-fermeture de F ϕ | Je .$\in$$F_{\phi |I}$$\in G_{\phi|I}$$G_{\phi|I}$$F_{\phi |I}$

$F_\phi$$F_1$

$F_\phi$