La résolution propositionnelle est-elle un système de preuve complet?

Cette question concerne la logique propositionnelle et toutes les occurrences de «résolution» doivent être lues comme «résolution propositionnelle».

Cette question est quelque chose d'extrêmement basique mais cela me dérange depuis un moment. Je vois des gens affirmer que la résolution propositionnelle est complète mais je vois aussi des gens affirmer que la résolution est incomplète. Je comprends le sens dans lequel la résolution est incomplète. Je vois aussi pourquoi les gens pourraient prétendre qu'il est complet, mais le mot «complet» diffère de la façon dont «complet» est utilisé pour décrire la déduction naturelle ou le calcul séquentiel. Même le qualificatif "réfutation complète" n'aide pas car les formules doivent être en CNF et la transformation d'une formule en une formule CNF équivalente ou une formule CNF non satisfaisante via la transformation Tseitin n'est pas prise en compte dans le système de preuve.

Solidité et exhaustivité

Supposons le cadre de la logique propositionnelle classique avec une relation $\models$ entre un univers de structures et un ensemble de formules et la notion tarskienne classique de vérité dans une structure. Nous écrivons $\models \varphi$ si $\varphi$ est vrai dans toutes les structures considérées. Je supposerai également un système pour dériver les formules des formules. $\vdash$

Le système est sain par rapport à si chaque fois que nous avons , nous avons également . Le système est complet par rapport à si chaque fois que nous avons , nous avons également . $\vdash$ $\models$ $\vdash \varphi$ $\models \varphi$ $\vdash$ $\models$ $\models \varphi$ $\vdash \varphi$

La règle de résolution

Un littéral est une proposition atomique ou sa négation. Une clause est une disjonction de littéraux. Une formule dans CNF est une conjonction de clauses. La règle de résolution affirme que

La règle de résolution affirme que si la conjonction de la clause avec la clause est satisfiable, la clause doit également être satisfiable. $C \lor p$ $\neg p \lor D$ $C \lor D$

Je ne sais pas si la règle de résolution seule peut être comprise comme un système de preuve car il n'y a pas de règles pour l'introduction de formules. Je suppose que nous avons au moins besoin d'une règle d'hypothèse qui permet l'introduction de clauses.

Incomplétude de la résolution

Il est connu que la résolution est un système insonorisé. Autrement dit, si nous pouvons dériver une clause partir d'une formule utilisant la résolution, alors $C$ $F$ . La résolution est également uneréfutation complètesignifiant si nous avons $\models F \implies C$ alors nous pouvons dériver de utilisant la résolution. $\models F \implies \bot$ $\bot$ $F$

Considérez la formule

et . $\varphi := p \land q$ $\psi := p \lor q$

Dans le système LK de Gentzen ou en utilisant la déduction naturelle, je peux dériver l'implication entièrement dans le système de preuve. Je ne peux pas dériver cette implication en utilisant la résolution car si je commence par , il n'y a pas de résolvants. $\varphi \implies \psi$ $\varphi$

Je vois comment je peux prouver la validité de cette implication en utilisant la résolution:

Considérez la formule $\neg (\varphi \implies \psi)$
Transformez la formule ci-dessus en CNF en utilisant des règles de distributivité standard ou en utilisant la transformation Tseitin
Dérivez de la formule transformée en utilisant la résolution. $\bot$

Cette approche n'est pas satisfaisante pour moi car elle nécessite que j'exécute les étapes (1) et (2) qui sont en dehors du système de preuve de résolution. Il semble donc qu'il y ait un sens très clair dans lequel la résolution n'est pas complète comme nous disons que la déduction naturelle ou les calculs séquentiels sont complets.

Des questions

Compte tenu de tout cela ci-dessus, mes questions sont les suivantes:

Quel système de preuve est envisagé lors de l'examen de la résolution? Est-ce juste la règle de résolution? Quelles sont les autres règles?
Il me semble très clair que la résolution n'est pas complète dans le sens où la déduction naturelle et les calculs séquentiels sont complets. La littérature affirme-t-elle que la résolution est une terminologie d'abus complète simplement parce que le sens dans lequel la résolution est complète est plus intéressant que le sens dans lequel elle est incomplète?
Cette différence dans les notions d'exhaustivité appliquées à la résolution et ailleurs et comment les concilier a-t-elle été discutée plus en profondeur dans la littérature?
Je me rends compte également que la résolution peut être formulée dans des calculs séquentiels en termes de la règle de coupe. La "bonne" théorie théorique de la preuve de la résolution est-elle juste que c'est un fragment du calcul séquentiel qui suffit pour vérifier la satisfiabilité des formules en CNF?

— Vijay D
source

(1) Formules CNF avec juste résolution (ou, si vous faites QBF, puis formules QCNF avec résolution et réduction globale); (2) Oui, c'est une réfutation complète, et un sens encore légèrement différent, à savoir si

alors

ψ ⊨ ⊥

$\psi\models\bot$

ψ ⊢ ⊥

$\psi\vdash\bot$

— Radu GRIGore

question à peu près similaire ici. merci pour la publication. Fondamentalement, iiuc / afaik, la résolution est utilisée pour les systèmes bien plus que la logique du premier ordre, mais dans la logique du premier ordre, elle est "saine / complète", bien que cela ne soit pas toujours très bien décrit, car il n'est souvent utilisé que pour les preuves de réfutation. dans les systèmes "plus grands", où les termes ne sont pas simplement des variables booléennes mais par exemple des qualificatifs existentiels, etc., il n'est pas complet. le domaine de la logique ne standardise pas trop bien ses définitions de la terminologie, il y a beaucoup de "surcharge" de termes etc ....

— vzn

C'est pourquoi certaines personnes disent qu'il est " réfutationnellement complet", par exemple L. Bachmair et H. Ganzinger, "Résolution du théorème prouvant", Manuel de raisonnement automatisé, vol. 1, pp. 19–99, 2001.

— Trylks

La question traite de l'exhaustivité de la réfutation.

— Vijay D

Réponses:

Quel système de preuve est envisagé lors de l'examen de la résolution? Est-ce juste la règle de résolution? Quelles sont les autres règles?

J'examine la résolution dans le contexte des "clauses", qui sont des séquences composées uniquement de littéraux . Une clause classique ressemblerait à Mais on peut aussi l'écrire comme

A_{1}, \dots, A_{n} \to B_{1}, \dots, B_{m}

$A_1,\ldots,A_n \to B_1,\ldots,B_m$

et travaillez avec des

d'un seul côté. Il est classique de traiter ces séquences unilatérales comme des ensemblesmultiplesde littéraux.

\to {\bar{A}}_{1}, \dots, {\bar{A}}_{n}, B_{1}, \dots, B_{m}

${} \to \bar{A}_1,\ldots,\bar{A}_n, B_1, \ldots, B_m$

LK limité aux clauses n'a que quatre règles d'inférence:

identité
coupe (résolution propositionnelle)
contraction (factorisation propositionnelle)
affaiblissement

Il est évident que ces quatre règles sont complètes pour déduire des clauses, c'est-à-dire,

Proposition 1 Pour toute clause et ensemble de clauses , nous avons si et seulement si . $C$ ${\cal S}$ ${\cal S} \models C$ ${\cal S} \vdash C$

Preuve de Réfutation convertit le problème de à , où est la collection des clauses qui représentent la négation de . ${\cal S} \vdash C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$ $N(C) = \{\{\bar{A}\} \mid A \in C\}$ $C$

Il est clair que si et seulement si . Notre système à quatre règles est encore suffisant pour prouver le problème converti, mais nous remarquons que nous n'avons plus besoin d'identité et d'affaiblissement. Les deux autres règles sont appelées «procédure de preuve de résolution». ${\cal S} \vdash C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

Proposition 2 Pour toute clause et ensemble de clauses , nous avons si et seulement si utilisant uniquement la coupe et la contraction. $C$ ${\cal S}$ ${\cal S} \models C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

L'intérêt de convertir le problème en preuves de réfutation est double:

$N(C)$
Nous avons une poignée sur la logique de prédicat complète, dont les formules peuvent être transformées en CNF jusqu'à la satisfiabilité.

La "bonne" théorie théorique de la preuve de la résolution est-elle juste que c'est un fragment du calcul séquentiel qui suffit pour vérifier la satisfiabilité des formules en CNF?

En effet!

— Uday Reddy
source

Merci Uday. Une question: la règle de réduction conserve toujours les clauses de la formule d'origine dans la suite. En résolution, ceux-ci sont "optimisés" avec une seule clause dans la suite. Seriez-vous d'accord pour dire que cette résolution est une règle minimale ou locale car toutes les clauses ne figurent pas dans la règle?

— Vijay D

@VijayD. Nous utilisons précisément la règle de coupe, mais d'une manière différente de Gentzen. Les épreuves Gentzen seraient de la forme

⊢ C

${} \vdash C$

S ⊢ C

${\cal S} \vdash C$

pourriez-vous également ajouter à votre réponse ce que vous pensez être une description précise en une phrase de l'exhaustivité de la résolution?

— Vijay D

@VijayD. Il y avait deux déclarations «si et seulement si» dans ma réponse originale, qui étaient les deux propriétés d'exhaustivité. Pour plus de clarté, je les ai mis en surbrillance en tant que propositions pour vous. (Je ne sais pas encore où se situe votre confusion. Peut-être que cela a à voir avec la langue avec laquelle nous travaillons, comme l'a laissé entendre Kaveh?)

— Uday Reddy

@VijayD. Je ne pense pas que vous puissiez dire que la résolution est "incomplète". Tout ce que vous avez dit dans votre question initiale, c'est que les transformations nécessaires pour mettre les formules propositionnelles sous forme clausale vous sont «insatisfaisantes». Cela ne signifie pas qu'ils sont "incomplets".

— Uday Reddy

1)

La seule règle non structurelle est la résolution (sur les atomes).

\frac{φ \lor C, ψ \lor \bar{C}}{φ \lor ψ}

$\varphi\lor C, \psi\lor \overline{C} \over \varphi\lor \psi$

Cependant, une règle en soi ne donne pas de système de preuve. Voir partie 3.

2)

$\{\land, \lor, \lnot\}$ $\{\land, \lor, \lnot\}$

Tant qu'il y a une "belle" traduction d'une langue à une autre, nous pouvons parler d'exhaustivité. Ce qui compte essentiellement, c'est que l'on puisse traduire efficacement les formules de l'une à l'autre et vice versa. Vous pouvez vérifier la thèse de Robert Reckhow où il traite de la question de la connectivité et montre que pour les systèmes Frege, la longueur des preuves ne change pas plus qu'un polynôme, il est donc judicieux de choisir n'importe quel ensemble de connecteurs adéquats que vous aimez.

La situation pour la résolution est similaire. En passant de SAT à 3SAT, nous pouvons limiter notre attention aux CNF et la transformation peut être effectuée très efficacement.

Notez que la résolution n'est pas seule ici, le problème s'applique également aux autres systèmes de preuve. Prenons par exemple Frege à profondeur bornée où la profondeur des formules doit être limitée par une constante, de sorte qu'elle ne peut par définition prouver aucune famille de formules à profondeur non limitée.

3)

$P$ $\vdash_P$

$\vdash_P$ $\varphi$ $\pi$ $\pi$ $P$ $\varphi$
$P$ $\varphi$ $\varphi$
$\varphi$ $P$ $\varphi$

La définition est très générale et ne parle pas du tout de la structure de la preuve. Tout ce qui satisfait à ces conditions est un système de preuve propositionnelle.

Quelle classe de formule devrions-nous considérer dans ces articles? Différentes classes de formules ont été envisagées et le premier traitement du problème que je connais est la thèse de Robert Reckhow où il montre que tant que l'on s'intéresse aux systèmes Frege, peu importe l'ensemble adéquat de connecteurs que l'on utilise, tous sont équivalents.

En ce qui concerne la résolution, si l'on veut vraiment avoir l'intégralité de toutes les formules et pas seulement des CNF, on peut intégrer sans problème une traduction à temps polynomial fixe de formules arbitraires aux CNF dans le système de preuve car la traduction est calculable en temps polynomial.

$\pi$ $\bot$ $\lnot \varphi$

4)

La résolution est bonne comme elle est, mais on peut aussi y penser de la manière que vous avez mentionnée, c'est-à-dire que nous pouvons bien sûr la considérer comme la règle de coupe lorsque la formule de coupe est un atome positif en déplaçant les atomes négatifs vers l'antécédent et en gardant le positifs dans le succès:

\frac{\Rightarrow φ, C C \Rightarrow ψ}{\Rightarrow φ, ψ}

$\Rightarrow \varphi, C \hspace{1cm} C \Rightarrow \psi \over \Rightarrow \varphi, \psi$

$G$

ps: Ma réponse est principalement du point de vue théorique de la complexité de la preuve. Vous voudrez peut-être vérifier d'autres perspectives comme la théorie de la preuve structurelle .

Les références:

Robert A. Reckhow, " Sur la longueur des preuves dans le calcul propositionnel ", 1976.

— Kaveh
source

Merci pour votre réponse. Je vois comment Uday dit des choses similaires, mais j'ai trouvé que je pouvais suivre sa réponse plus facilement.

— Vijay D

@VijayD, bien sûr, pas de problème. :)

— Kaveh