Considérons un réseau électrique modélisé comme un graphe planaire G, où chaque front représente une résistance de 1Ω. À quelle vitesse peut-on calculer la résistance effective exacte entre deux sommets en G? De manière équivalente, à quelle vitesse pouvons-nous calculer le courant exact circulant le long de chaque bord si nous attachons une batterie 1V à deux sommets en G?
Les lois bien connues de la tension et du courant de Kirchhoff réduisent ce problème à la résolution d'un système d'équations linéaires avec une variable par bord. Résultats plus récents - décrits explicitement par Klein et Randić (1993) mais implicites dans les travaux antérieurs de Doyle et Snell (1984) - réduisent le problème à la résolution d'un système linéaire avec une variable par sommet, représentant le potentiel de ce nœud ; la matrice de ce système linéaire est la matrice laplacienne du graphe.
Soit le système linéaire peut être résolu exactement en fois en utilisant la dissection emboîtée et séparateurs planaires [ Lipton Rose Tarjan 1979 ]. Est-ce l'algorithme le plus rapide connu?
Les résultats séminaux récents de Spielman, Teng et d'autres impliquent que le système laplacien dans les graphes arbitraires peut être résolu approximativement en temps quasi-linéaire. Voir [ Koutis Miller Peng 2010 ] pour le meilleur temps de course actuel, et cet article étonnant par Erica Klarreich à la Fondation Simons pour un aperçu de haut niveau. Mais je m'intéresse spécifiquement aux algorithmes exacts pour les graphes planaires .
Supposons un modèle de calcul qui prend en charge l'arithmétique réelle exacte en temps constant.