Quand est-il décontracté de compter?

Supposons que nous relâchions le problème du comptage des colorations appropriées en comptant les colorations pondérées comme suit: chaque coloration appropriée obtient le poids 1 et chaque coloration incorrecte obtient le poids où est une constante et est le nombre d'arêtes dont les extrémités sont colorées de la même manière. Lorsque passe à 0, cela se réduit à compter les colorations appropriées, ce qui est difficile pour de nombreux graphiques. Lorsque c est 1, chaque coloration a le même poids et le problème est trivial. Lorsque la matrice d'adjacence du graphique multipliée par a un rayon spectral inférieur à c v c - log ( c ) / 2 1 - $c^v$$c$$v$$c$$-\log(c)/2$$1-\epsilon$, cette somme peut être approximée par propagation de croyance avec garantie de convergence, c'est donc facile en pratique. C'est aussi facile en théorie, car un arbre de calcul particulier présente une décroissance des corrélations et permet donc un algorithme de temps polynomial pour une approximation garantie - Tetali, (2007)

Ma question est - quelles autres propriétés du graphique rendent ce problème difficile pour les algorithmes locaux? Dur dans le sens où seule une petite plage de peut être adressée.$c$

Edit 23/09 : Jusqu'à présent, je suis tombé sur deux algorithmes déterministes d'approximation polynomiale pour cette classe de problèmes (dérivés du document STOC2006 de Weitz et de l'approche "expansion de la cavité" de Gamarnik pour le comptage approximatif), et les deux approches dépendent du facteur de branchement de l'auto-évaluation éviter les promenades sur le graphique. Le rayon spectral apparaît parce que c'est une limite supérieure de ce facteur de ramification. La question est alors - est-ce une bonne estimation? Pourrions-nous avoir une séquence de graphiques où le facteur de branchement des promenades auto-évitantes est borné, tandis que le facteur de branchement des promenades régulières croît sans limite?

Edit 10/06 : Cet article d'Allan Sly (FOCS 2010) semble pertinent ... le résultat suggère que le facteur de ramification d'un arbre infini de promenades évitantes capture précisément le point auquel le comptage devient difficile.

Edit 31/10 : Alan Sokal conjectures ( p.42 of "The multivariate Tutte polynomia" ) qu'il y a une limite supérieure sur le rayon de la région sans zéro du polynôme chromatique qui est linéaire en termes de maxmaxflow (débit maximal de st toutes les paires s, t). Cela semble pertinent car les corrélations à longue distance apparaissent lorsque le nombre de colorations appropriées se rapproche de 0.

C'est difficile pour les graphiques planaires, au moins pour six couleurs ou plus. Voir "Inapproximabilité du polynôme de Tutte d'un graphe planaire" par Goldberg et Jerrum

Quelques commentaires supplémentaires:

Un algorithme local de comptage calculera le comptage à partir d'un ensemble de statistiques par nœud où chaque statistique est fonction d'un voisinage graphique du nœud. Pour les colorations, ces statistiques sont liées à la "probabilité marginale de rencontrer la couleur c". Voici un exemple de cette réduction pour un graphique simple.

Il résulte de l' article récent d'Alan Sly que compter les ensembles indépendants en utilisant un algorithme local est aussi difficile que de compter les ensembles indépendants en utilisant n'importe quel algorithme. Je soupçonne que cela est vrai pour le comptage général sur les graphiques.

Pour les algorithmes locaux, la dureté dépend du comportement de la corrélation entre les nœuds par rapport à la distance entre les nœuds. Pour des distances suffisamment grandes, cette corrélation n'a essentiellement que deux comportements - soit la corrélation décroît de façon exponentielle dans la distance du graphique, soit elle ne se désintègre pas du tout.

S'il y a décroissance exponentielle, les statistiques locales dépendent d'un voisinage dont la taille est polynomiale dans la taille du graphique, donc le problème du comptage est facile.

Dans les modèles de physique statistique, il a été noté (c'est-à-dire de Gennes, Emery) qu'il existe un lien entre les marches auto-évitantes, la décroissance de la corrélation et les transitions de phase. Le point auquel la fonction génératrice de promenades auto-évitantes sur un réseau devient infinie correspond à la température à laquelle les corrélations à longue distance apparaissent dans le modèle.

Vous pouvez voir dans la construction de l'arbre de marche auto-évitant de Weitz pourquoi les promenades auto-évitantes apparaissent dans la décroissance de la corrélation - marginal peut être représenté exactement comme la racine d'un arbre de promenades auto-évitantes, donc si le facteur de ramification de cet arbre est suffisamment petites, les feuilles de l'arbre finissent par ne plus être pertinentes.

Si la «dureté locale» implique la dureté, alors il suffit de quantifier les propriétés qui déterminent le taux de croissance des promenades auto-évitantes. Le taux de croissance exact peut être extrait de la fonction de génération pour des promenades auto-évitantes, mais il est difficile à calculer. Le rayon spectral est facile à calculer et donne une limite inférieure.

Quelques commentaires: pas une réponse.

Si est assez petit par rapport au nombre de sommets dans le graphique, alors les colorations incorrectes s'additionneront à moins de 1. Il y a donc une réduction triviale du cas poids-0 à ce cas: choisissez simplement pour être petit assez. Cela signifie que le problème est # P-difficile pour toute collection d'instances avec , pour tout . (Ici, j'autorise à être différent dans différents cas, donc les classes sont des unions de classes avec fixe .)c c ∈ [ 0 , ϵ ) ϵ > 0 c $c$$c$$c \in [0,\epsilon)$$\epsilon > 0$$c$$c$

Supposons maintenant que soit vraiment fixe, comme dans la configuration de votre problème. Ensuite, pour les graphiques suffisamment grands, il est toujours possible de dépasser une somme pondérée de 1 pour les colorations incorrectes, de sorte que cette réduction directe ne fonctionne pas.$c$

Vous demandez des propriétés structurelles de la classe des graphiques qui permettraient au problème de rester difficile. Pour autant que je sache, ce sera presque toujours difficile. Mais cela est très sommaire et nécessite plus de travail.