Recherche de trous impairs dans les graphiques Paley circulants

Les graphes de Paley P _q sont ceux dont l'ensemble des sommets est donné par le champ fini GF (q), pour les puissances premières q≡1 (mod 4), et où deux sommets sont adjacents si et seulement s'ils diffèrent de ² pour certains a ∈ GF (q). Dans le cas où q est premier, le champ fini GF (q) n'est que l'ensemble des entiers modulo q.

Dans un article récent , Maistrelli et Penman montrent que le seul graphe de Paley parfait (ayant un nombre chromatique égal à la taille de sa plus grande clique) est celui sur neuf sommets. Cela implique notamment qu'aucun des graphes de Paley P _q n'est parfait pour q prime.

Le théorème du graphe parfait parfait affirme qu'un graphe G est parfait si et seulement si G et son complément manquent de trous impairs (un sous-graphe induit qui est un cycle de longueur impaire et de taille au moins 5.) Les graphes de Paley d'ordre premier sont auto-complémentaire et imparfait; ils doivent donc contenir des trous impairs.

Question. Pour q≡1 (mod 4) premier, existe-t-il un algorithme poly (q) pour trouver un trou impair dans P _q ? Existe-t-il un algorithme polylog (q)? L'aléatoire et les conjectures théoriques des nombres populaires sont autorisés.

Je crois qu'il existe un algorithme poly (q) connu. Ma compréhension de l'algorithme de Chudnovsky, Cornuéjols, Liu, Seymour et Vušković, "Recognizing Berge Graphs", Combinatorica 2005 , est qu'il trouve soit un trou impair, soit un antihole impair dans tout graphique non parfait en temps polynomial. Les auteurs écrivent à la page 2 de leur article que le problème de trouver des trous impairs dans les graphiques qui les contiennent reste ouvert, car les étapes 1 et 3 de leur algorithme trouvent des trous mais l'étape 2 pourrait trouver un antihole à la place. Cependant, dans le cas des graphiques Paley, si vous trouvez un antihole, multipliez simplement tous les sommets qu'il contient par un non-résidu pour le transformer en un trou impair à la place.

Alternativement, par analogie avec le graphe Rado, pour chaque k il devrait y avoir un N tel que les graphes de Paley sur N ou plusieurs sommets devraient avoir la propriété d'extension: pour tout sous-ensemble de moins de k sommets, et toute 2-coloration du sous-ensemble, il existe un autre sommet adjacent à chaque sommet d'une classe de couleurs et non adjacent à chaque sommet de l'autre classe de couleurs. Si c'est le cas, alors pour k = 5, vous pourriez construire un étrange 5 trous en un temps polynomial par étape. Peut-être que cette direction est pleine d'espoir pour un algorithme poly (log (q))? Si cela fonctionne, cela montrerait au moins qu'il y a de courts trous impairs, apparemment une condition préalable nécessaire pour les trouver rapidement.

En fait, cela ne me surprendrait pas si ce qui suit était un algorithme poly (log (q)): si q est plus petit qu'une constante fixe, recherchez la réponse, sinon construisez goulûment un impair à 5 trous en recherchant séquentiellement les nombres 0, 1, 2, 3, ... pour les sommets qui peuvent être ajoutés dans le cadre d'un 5 trous partiel. Mais peut-être que prouver qu'il fonctionne en temps poly (log (q)) nécessiterait une théorie des nombres approfondie.

D'après les résultats de Chung, Graham et Wilson, "Graphiques quasi-aléatoires", Combinatorica 1989, l'algorithme randomisé suivant résout le problème dans un nombre d'essais attendu constant lorsque q est premier: si q est suffisamment petit, recherchez la réponse, sinon, choisissez à plusieurs reprises un ensemble aléatoire de cinq sommets, vérifiez s'ils forment un trou impair, et si c'est le cas, renvoyez-le. Mais ils ne disent pas si cela fonctionne quand q n'est pas un pouvoir premier mais un pouvoir premier, alors peut-être que vous auriez besoin d'être plus prudent dans ce cas.