Combinateurs pour les fonctions récursives primitives

Il est bien connu que les combinateurs S et K sont Turing Complete. Existe-t-il des combinateurs suffisants pour produire (uniquement) les fonctions récursives primitives?

lo.logic computability

— NietzscheanAI
source

Est-ce bien ce que vous demandez? mathoverflow.net/questions/48006/…

— Andrej Bauer

Oui, mais vous devez considérer les combinateurs typés. Autrement dit, vous devez donner à et les schémas de types suivants: où et sont des méta-variables qui peuvent être instanciées à n'importe quel type concret à chaque utilisation. $S$ $K$

\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}

$\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}$

A, B

$A, B$

C

$C$

Ensuite, vous voulez ajouter le type de nombres naturels à la langue des types, et ajouter les combinateurs suivants: $\mathbb{N}$

\begin{array}{lcl} z & : & N \\ s u c c & : & N \to N \\ i t e r & : & N \to (N \to N) \to N \to N \end{array}

$\begin{array}{lcl} z & : & \mathbb{N} \\ succ & : & \mathbb{N} \to \mathbb{N} \\ iter & : & \mathbb{N} \to (\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N} \to \mathbb{N} \end{array}$

Les règles d'égalité pour les ajouts sont les suivantes:

\begin{array}{lcl} i t e r i f z & = & i \\ i t e r i f (s u c c e) & = & f (i t e r i f e) \end{array}

$\begin{array}{lcl} iter\;i\;f\;z & = & i \\ iter\;i\;f\;(succ\;e) & = & f(iter\;i\;f\;e) \end{array}$

\begin{array}{lcl} i t e r & : & A \to (A \to A) \to N \to A \end{array}

$\begin{array}{lcl} iter & : & A \to (A \to A) \to \mathbb{N} \to A \end{array}$

i t e r

$iter$

$\mathit{iter}$

\begin{array}{lcl} p r e d^{'} & = & λ k . i t e r (z, z) (λ (n, n^{'}) . (s u c c n, n)) k \\ p r e d & = & λ k . s n d (p r e d^{'} k) \end{array}

$\begin{array}{lcl} pred' & = & \lambda k.\;iter \;(z, z) \; (\lambda (n, n').\; (succ\;n, n))\;k\\ pred & = & \lambda k.\;snd(pred'\;k) \end{array}$

$\mathbb{N} \simeq \mathbb{N} \times \mathbb{N}$

— Neel Krishnaswami
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Donc, c'est moins que Turing-complet en raison de la restriction aux combinateurs typés? Les variables de type peuvent-elles (récursivement) désigner des fonctions par rapport aux variables de type (par exemple A = D -> E pour certains types D et E)?

— NietzscheanAI

S

$S$

K

$K$

Neel, merci. Aurais-je raison de penser qu'il est possible de représenter z, succ et iter en termes de S et K via l'encodage numérique Church?

— NietzscheanAI

0 \mapsto 0

$0\mapsto 0$

(s u c c x) \mapsto x

$(succ x)\mapsto x$

@Xoff: la fonction prédécesseur a une définition de temps linéaire bien connue en termes de iter. Cela pourrait faire l'objet d'une question sur cs.stackexchange.com ...

— cody