Système de preuve de somme des carrés

Récemment, j'ai vu plusieurs articles sur arxiv qui se réfèrent à un système de preuve appelé somme des carrés.

Quelqu'un peut-il expliquer ce qu'est une preuve de somme des carrés et pourquoi ces preuves sont importantes / intéressantes?

Comment sont-ils liés à d'autres systèmes de preuve algébriques? S'agit-il d'une sorte de dualité avec Lassere?

— Anonyme
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Il y a un aperçu dans arxiv.org/abs/1211.1958 . Le système SOS de base est défini en passant à la page 3 (recherchez Grigoriev et Vorobjov).

— Emil Jeřábek soutient Monica

@Emil, il semble que le papier contienne les réponses aux questions du post (il explique le système, son histoire et sa pertinence pour les travaux récents), pourquoi ne pas poster votre commentaire comme réponse?

— Kaveh

@ EmilJeřábek J'accepterai votre commentaire si vous en publiez une version étendue comme réponse.

— Anonyme

OK, je l'ai fait, même si j'aurais préféré qu'il soit répondu par quelqu'un qui comprend réellement ces systèmes.

— Emil Jeřábek soutient Monica

Réponses:

Le système de preuve de somme des carrés de base, introduit sous le nom de réfutations Positivstellensatz par Grigoriev et Vorobjov , est un système de preuve «statique» pour montrer qu'un ensemble d'équations et d'inéquations polynomiales où

S = {f_{1} = 0, \dots, f_{k} = 0, h_{1} \geq 0, \dots, h_{m} \geq 0},

$S=\{f_1=0,\dots,f_k=0,h_1\ge0,\dots,h_m\ge0\},$

, n'a pas de solution commune dans

: une réfutation de

est donnée par les polynômes

tels que

f_{1}, \dots, f_{k}, h_{1}, \dots, h_{m} \in R [x_{1}, \dots, x_{n}]

$f_1,\dots,f_k,h_1,\dots,h_m\in\mathbb R[x_1,\dots,x_n]$

R^{n}

$\mathbb R^n$

S

$S$

g_{i}

$g_i$

e_{I, j}

$e_{I,j}$

(On pourrait travailler avec n'importe quel champ fermé réel à la place de

) Le Positivstellensatz de Stengle garantit que

a une réfutation si et seulement s'il n'a pas de solution. La principale mesure de complexité ici est ledegréde la réfutation, qui est le maximum des degrés totaux des polynômes qui apparaissent sous les signes de somme dans

, c'est-à-dire

\begin{matrix} (*) & - 1 = \sum_{i = 1}^{k} g_{i} f_{i} + \sum_{I \subseteq {1, \dots, m}} \sum_{j} e_{I, j}^{2} \prod_{i \in I} h_{i} . \end{matrix}

$\tag{$*$}-1=\sum_{i=1}^kg_if_i+\sum_{I\subseteq\{1,\dots,m\}}\sum_je_{I,j}^2\prod_{i\in I}h_i.$

R

$\mathbb R$

S

$S$

(*)

$(*)$

g_{i} f_{i}

$g_if_i$

e_{I, j}^{2} \prod_{i \in I} h_{i}

$e_{I,j}^2\prod_{i\in I}h_i$

Comme d'habitude avec les systèmes de preuve algébriques, on peut également le considérer comme un système de réfutation pour les formules booléennes insatisfaisantes en incluant dans les axiomes pour chaque variable , et une traduction de par les inégalités polynomiales. $\phi$ $S$ $x_i^2-x_i$ $x_i$ $\phi$

Plus d'informations sur l'histoire et le développement des systèmes SOS sont disponibles sur http://arxiv.org/abs/1211.1958 .

— Emil Jeřábek soutient Monica
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Existe-t-il un livre standard?

Y a-t-il également une utilisation de la théorie des modèles ici?

Laserre a un livre récent sur les aspects d'optimisation. "An Introduction to Polynomial and Semi-Algebraic Optimization" publié par Cambridge University Press.

— Chandra Chekuri

$p(\vec{x}) \geq 0$ $p(\vec{x})$ $\vec{x}$

Les règles d'inférence sont les suivantes:

$\over x^2-x \geq 0$
$\over x-x^2 \geq 0$
$\over p(\vec{x})^2\geq 0$
$p(\vec{x}) \geq 0 \over p(\vec{x})x \geq 0$
$p(\vec{x}) \geq 0 \over p(\vec{x})(1-x) \geq 0$
$p_1(\vec{x}) \geq 0, \cdots, p_m(\vec{x}) \geq 0 \over \sum_{i=1}^m c_ip_i(\vec{x}) \geq 0$ $c_1, \cdots, c_m \in \mathbb{R}^+$

$p(\vec{x})^2\geq 0$

Il existe de bonnes connexions avec des algorithmes de programmation et d'approximation semi-définis.

Pour en savoir plus, consultez la récente conférence d' Albert Atserias à l'atelier BIRS Fondements théoriques de la résolution SAT appliquée :

Albert Atserias , Mini-Tutorial on Semi-Algebraic Proof Systems ( slides ), 2014

— Kaveh
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Cette formulation est-elle la même que celle d'Emil? La vôtre est "dynamique", et permet donc des preuves de type DAG, où celle d'Emil est "statique", et semble donc correspondre à une version arborescente de la vôtre. Donc, apparemment, ils sont différents en ce qui concerne la complexité (par exemple, le degré, la taille en termes de nombre de monômes et le nombre de lignes). Est-ce vrai?

— Iddo Tzameret

@Iddo, je pense que vous avez raison. Une mesure de complexité peut ne pas être la même. Albert explique dans son exposé très brièvement la correspondance pour la principale mesure de complexité intéressante si je me souviens bien, mais si l'on s'intéresse à d'autres mesures, il faut être plus prudent dans la formulation.

— Kaveh

@Kaveh J'ai posé deux questions connexes si vous pouvez bien vouloir aider, (1) cstheory.stackexchange.com/questions/30930/… (2) cstheory.stackexchange.com/questions/30932/…

— user6818