Algorithmes d'approximation pour l'ensemble indépendant maximum sur des classes spéciales de graphiques

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Nous savons que l'ensemble indépendant maximum (MIS) est difficile à estimer dans un facteur pour tout $n^{1-\epsilon}$ moins que P = NP. Quelles sont certaines classes spéciales de graphiques pour lesquelles de meilleurs algorithmes d'approximation sont connus? $\epsilon > 0$

Quels sont les graphes pour lesquels les algorithmes polynomiaux sont connus? Je sais que pour des graphiques parfaits, cela est connu, mais existe-t-il d'autres classes de graphiques intéressantes?

— Arindam Pal
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La version exacte (sans approximation) de cette question: cstheory.stackexchange.com/q/2503/109

— András Salamon

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Il y a une liste vraiment impressionnante de toutes les classes de graphes connues qui ont des algorithmes non triviaux pour MIS: voir cette entrée sur le site Web des classes de graphes.

— Suresh Venkat
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Cette liste vise exclusivement des algorithmes exacts. Sur l'approximation, la classe principale pourrait être le PTAS sur les graphes planaires, les graphes de genre bornés et les graphes sans H mineur.

— Yixin Cao

Merci Suresh. La liste est assez complète. Merci également à Yan pour les résultats approximatifs.

— Arindam Pal

2

les références correspondantes sont: Brenda S. Baker: Algorithmes d'approximation pour les problèmes NP-complets sur les graphes planaires. J. ACM 41 (1): 153-180 (1994); David Eppstein: Diameter and Treewidth in Minor-Closed Graph Families. Algorithmica 27 (3): 275-291 (2000); Erik D. Demaine, Mohammad Taghi Hajiaghayi, Ken-ichi Kawarabayashi: Théorie mineure des graphes algorithmiques: décomposition, approximation et coloration. FOCS 2005: 637-646. Voir aussi: courses.csail.mit.edu/6.889/fall11/lectures/L08.html et courses.csail.mit.edu/6.889/fall11/lectures/L09.html

— Christian Sommer

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Je n'ai pas une bonne vue d'ensemble de ce problème, mais je peux donner quelques exemples. Un algorithme d'approximation simple serait de trouver un certain ordre des nœuds et de sélectionner avidement les nœuds à faire dans l'ensemble indépendant si aucun de ses voisins précédents n'a été sélectionné dans l'ensemble indépendant.

Si le graphique présente une dégénérescence utilisation de l'ordre de dégénérescence donnera une approximation . donc pour les graphes de dégénérescence $d$ $d$ $n^{1-\epsilon}$ nous avons une assez bonne approximation.

Il existe quelques autres techniques d'approximation qui fonctionnent aussi, mais je ne les connais pas bien. Voir: http://en.wikipedia.org/wiki/Baker%27s_technique et http://courses.engr.illinois.edu/cs598csc/sp2011/Lectures/lecture_7.pdf

Pour les algorithmes polynomiaux résolvant les problèmes exactement Le lien que Suresh a donné est le meilleur. Les classes graphiques les plus intéressantes sont difficiles à dire.

$k$ $O(2^k n)$ $k$ $O(\log n)$

— Martin Vatshelle
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Comme l'a dit Mohammad Al-Turkistany dans sa réponse, les graphes planaires cubiques sont l'un de ces graphes non parfaits où un ensemble indépendant peut être approximé. Tous les graphes planaires ont une dégénérescence au plus de 5, et les graphes du genre k ont une dégénérescence O (k) et un ensemble indépendant peut donc être approximé.

— Martin Vatshelle

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Pour la classe des graphiques planaires cubiques, cet article, Un algorithme d'approximation pour le problème d'ensemble indépendant maximum dans les graphiques planaires cubiques par Elarbi Choukhmane et John Franco, donne un algorithme d'approximation polynomiale du temps. Le facteur d'approximation de leur algorithme est 6/7.

— Mohammad Al-Turkistany
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1

C'était déjà obsolète par la technique de Baker (FOCS'83) au moment de sa publication en 1986

— David Eppstein

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Je n'ai pas vérifié les réponses ci-dessus, donc mes excuses s'il y a un chevauchement. Voici un cas spécial où vous pouvez le résoudre exactement en temps polynomial. Si votre graphique G est un graphique linéaire , exécutez un algorithme de temps polynomial pour trouver le graphique racine H, puis recherchez une correspondance maximale dans H.

— Babis Tsourakakis
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Les graphes linéaires et le complément de graphes linéaires sont polynomiaux et couverts par la liste donnée par Suresh Venkat.

— Martin Vatshelle

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Dans les graphiques d'intersection géométrique, il existe plusieurs approximations intéressantes, PTAS et algorithmes exacts sous-exponentiels. Voir l'article Wikipédia Ensemble disjoint maximum pour une enquête.

— Erel Segal-Halevi
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