Nombre de cycles hamiltoniens sur des graphes aléatoires

Nous supposons que . Ensuite, le fait suivant est bien connu:$G\in G(n,p),p=\frac{\ln n +\ln \ln n +c(n)}{n}$

$$\begin{eqnarray} Pr [G\mbox{ has a Hamiltonian cycle}]= \begin{cases} 1 & (c(n)\rightarrow \infty) \\ 0 & (c(n)\rightarrow - \infty) \\ e^{-e^{-c}} & (c(n)\rightarrow c) \end{cases} \end{eqnarray}$$

Je veux connaître les résultats sur le nombre de cycles hamiltoniens sur des graphes aléatoires.

Q1. Combien est le nombre attendu de cycles hamiltoniens sur ?$G(n,p)$

Q2. Quelle est la probabilité pour la probabilité de bord p sur$Pr [G \textrm{ has a *unique* Hamiltonian cycle}]$$p$ ?$G(n,p)$

Comme l'a dit Yuval, Q1 est facile à répondre en utilisant la linéarité de l'attente (spoiler: ). Je ne connais pas la réponse exacte à Q2, mais elle pourrait être assez bonne si vous savez qu'elle est très faible: pour la plage de p où il y a au moins un cycle, elle soutient que P [ il y a plus d'un cycle | il y a au moins un cycle ] > 1 - 1 / n log n environ. En d'autres termes, une fois qu'il y a un cycle, il y en a plusieurs. La raison en est qu'une fois qu'il y a un cycle, il y a environ n $(n-1)!p^n$$p$$P[\text{there is more than one cycle} | \text{there is at least one cycle}]>1-1/n^{\log n}$$n^2$façons de créer un autre cycle à partir de celui-ci en échangeant deux bords du cycle par les deux bords "croisés" (c'est ce qu'on appelle un "2-flip" ou quelque chose dans certains de la littérature pertinente). Pour n'importe quelle paire d'arêtes, la chance que vous pouvez faire est . Donc, pour tous ces échecs, la chance est ( 1 - p 2 ) n 2 qui est à peu près e - ( p n ) 2 , ce qui est assez minuscule.$p^2$$(1-p^2)^{n^2}$$e^{-(pn)^2}$