Un paramètre de graphique éventuellement lié à la largeur d'arbre

Je m'intéresse aux graphiques sur sommets qui peuvent être produits via le processus suivant.$n$

1. Commençons par un graphe arbitraire sur k ≤ n sommets. Étiquetez tous les sommets de G comme inutilisés .$G$$k\le n$$G$
2. Produire un nouveau graphe en ajoutant un nouveau sommet v , qui est relié à un ou plusieurs inutilisés sommets dans G , et non connecté à aucune occasion sommets dans G . Étiquetez v comme inutilisé .$G'$$v$$G$$G$$v$
3. Étiquetez l'un des sommets de auquel v est connecté comme utilisé .$G'$$v$
4. Réglez sur G ′ et répétez à partir de l'étape 2 jusqu'à ce que G contienne n sommets.$G$$G'$$G$$n$

Appelez ces graphiques "graphiques de complexité " (excuses pour la terminologie vague). Par exemple, si G est un graphe de complexité 1, G est un chemin.$k$$G$$G$

Je voudrais savoir si ce processus a déjà été étudié. En particulier, pour arbitraire , est-il NP-complet de déterminer si un graphe a une complexité k ?$k$$k$

Ce problème semble quelque peu similaire à la question de savoir si est une partielle k -tree , ie a treewidth k . Il est connu que déterminer si G a une largeur d'arbre k est NP-complet. Cependant, certains graphiques (étoiles, par exemple) peuvent avoir une largeur d'arbre beaucoup plus petite que la mesure de la complexité discutée ici.$G$$k$ $k$$G$$k$

4ème Octobre 2012: Question permuté à mathoverflow après il n'y avait pas de réponse concluante après une semaine (mais merci pour les informations sur les flux de cause à effet).

Bien que nous en ayons discuté en personne auparavant, j'ajouterai ceci dans l'espoir que cela permettra à quelqu'un d'autre de fournir une réponse complète.

Dans votre processus d'ajout de sommets, définissez une fonction partielle de chaque sommet v qui est utilisé, au sommet qui a été ajouté lorsque v a été utilisé. Ensuite, il s'avère que f est une fonction de flux (causale) (p. 39), qui est une version restreinte d'une couverture de chemin. En effet, votre description de ces graphes de "complexité k " (étant donné un ensemble de sommets qui doivent être les sommets initialement inutilisés et les sommets finaux inutilisés) est précisément la décomposition en étoile d'une "géométrie" avec un flux causal (p. 46 de l'article ci-dessus).$f:V(G) \rightharpoonup V(G)$$v$$v$$f$

Bien que ces «flux causaux» aient été étudiés principalement dans le contexte du calcul quantique (basé sur la mesure) - où ils sont motivés par certaines structures de circuits unitaires - il existe à leur sujet des résultats de théorie des graphes qui sont totalement dissociés du calcul quantique:

Points d'extrémité modulo d'unicité : les graphes de "complexité  " sont précisément ceux pour lesquels il existe (éventuellement des intersections) des ensembles S , T ⊆ V ( G ) , tous deux de taille k , de sorte que G a exactement une couverture de chemin de taille k dont les chemins démarrer en S ettermine à T .$k$$S,T \subseteq V(G)$$k$$G$$k$$S$$T$

Graphes extrêmes : Un graphe sur sommets qui a "complexité k " a au plus k n - ( k + $n$$k$ bords.$kn - \binom{k+1}{2}$

En utilisant ces résultats, et étant donné une paire candidate d'ensembles , déterminer s'ils "sous-tendent" ou non une couverture de chemin unique de cette manière peut être déterminé dans le temps O ( k 2 n ) ; mais la recherche de l'existence ou non de tels ensembles de paramètres est la difficulté apparente, et le résultat extrême ci-dessus (qui n'est qu'une condition nécessaire) semble représenter l'état de l'art en termes de critères efficaces pour déterminer si de tels ensembles existent.$S,T$$O(k^2 n)$

Tous les graphiques de complexité ont une largeur de chemin d'au plus k . À chaque étape, l'ensemble des nœuds inutilisés est un séparateur séparant les nœuds utilisés de ceux déjà créés. Ainsi, à chaque étape, lorsque vous ajoutez un sommet, vous pouvez créer un sac contenant ce sommet plus tous les sommets inutilisés et connecter le sac à la fin de la décomposition du chemin. Ce sera une décomposition de chemin valide.$k$$k$

En raison de "quel est connecté" aux points 3 et 2, la largeur du trajet peut être beaucoup plus petite que k . Je ne suis pas sûr de décider si G est une complexité k , mais comme le dit Niel, il doit y avoir une couverture de chemin de taille k, mais pas seulement une couverture de chemin, les chemins doivent être induits. Et entre les chemins, nous pouvons avoir ce motif en zigzag. Nous pouvons en temps f ( k ) ⋅ p o l y ( n ) calculer une décomposition de chemin optimale, puis nous pouvons utiliser cette décomposition pour faire une programmation dynamique tout en gardant une trace des différents segments de ces $v$$k$$G$$k$$f(k) \cdot poly(n)$$k$les chemins, le chemin auquel ils appartiennent et l'ordre des segments appartenant au même chemin. Et pour chaque paire de segments appartenant à des chemins différents, il nous suffit de connaître le premier et le dernier chemin du zig-zag.

Par conséquent, je pense que nous pouvons décider si un graphe a une complexité en temps f ( k ) ⋅ p o l y ( n ) .$k$$f(k) \cdot poly(n)$