Problèmes difficiles pour les graphiques de genre supérieurs

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Les graphes planaires ont le genre zéro. Les graphiques embarquables sur un tore ont un genre au maximum 1. Ma question est simple:

Y a-t-il des problèmes qui peuvent être résolus polynomialement sur les graphes planaires mais NP-dur sur les graphes du genre un?
Plus généralement, y a-t-il des problèmes qui peuvent être résolus polynomialement sur les graphes du genre g mais NP-dur sur les graphes du genre> g?

— Shiva Kintali
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Pour la deuxième question, voulez-vous que le problème soit NP-difficile pour les graphiques du genre> = k, où k est une constante supérieure à g? OU voulez-vous simplement que le problème soit NP-difficile pour les graphiques dont le genre n'est pas inférieur à g (ce qui équivaut à être NP-difficile pour les graphiques généraux)?

— Robin Kothari

1

Je recherche des problèmes NP-Difficile pour les graphes du genre> = k, où k est une constante supérieure à g.

— Shiva Kintali

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C'est la publicité de mon propre travail, mais le nombre de croisements et la 1-planarité sont trivialement résolubles dans les graphes planaires mais difficiles pour les graphes du genre un. Voir http://arxiv.org/abs/1203.5944

— Quelqu'un
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3

"Un graphe est quasi-plan s'il peut être obtenu à partir d'un graphe plan en ajoutant une arête. Un graphe est 1-plan s'il a un dessin où chaque arête est traversée par au plus une autre arête. Nous montrons qu'il s'agit de NP -difficile de décider si un graphe quasi planaire donné est 1 plan. " J'ai dû louper quelque chose. Pourquoi chaque graphique presque planaire n'est-il pas également planaire?

— Tyson Williams

4

Ce que je pense que vous dites, c'est que vous pouvez simplement prendre une incorporation planaire de

et rajouter le bord. Cependant, ce bord supplémentaire pourrait traverser plus d'un bord, violant ainsi la 1-planarité.

G - e

$G-e$

— Timothy Sun

@TimothySun Oui. Chaque bord autre que

sera franchi au plus une fois (par

), mais

pourrait être traversé par plus d'un autre bord, ce qui n'est pas autorisé. Merci.

e

$e$

e

$e$

e

$e$

— Tyson Williams

4

Si les problèmes de jouets sont satisfaisants:

Soit et Soit un graphe du genre . Pour une formule CNF-, que soit un codage de sous forme de graphique plane ainsi qu'une copie disjointe de . $g\in\mathbb{N}$ $H$ $g+1$ $\phi$ $G_\phi$ $\phi$ $H$

Étant donné , qui est un graphe du genre , il est difficile pour NP de décider si est satisfaisable. Ce problème devient cependant trivial lorsqu'il est limité aux graphiques du genre . $G_\phi$ $g+1$ $\phi$ $\leq g$

— Radu Curticapean
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2

quel est ce problème sur les graphiques du genre

\leq g

$\leq g$

— Sasho Nikolov

1

Tous les graphiques

ont le genre

. Ainsi, si vous limitez le problème aux graphiques du genre

, vous pouvez toujours rejeter.

G_{ϕ}

$G_\phi$

g + 1

$g+1$

g

$g$

— Radu Curticapean

ah, ça devient vraiment trivial, je vois

— Sasho Nikolov

2

EDIT (2012-09-05): Les commentaires de Jeff et Radu ont raison. Le résultat cité ne répond pas à la question. Pour développer le commentaire de Radu, voici un algorithme connexe de Bravyi qui donne un algorithme pour contracter des tenseurs de matchgate sur un graphique avec le genre avec le temps d'exécution $G$ $g$ $T=poly(n) + 2^{2g} O(m^3)$ où est le nombre minimum d'arêtes que l'on doit retirer de pour le rendre plan. $m$ $G$

Cai, Lu et Xia ont récemment démontré la dichotomie suivante pour les problèmes de comptage #CSP:

Nous prouvons les théorèmes de dichotomie de complexité dans le cadre du comptage des problèmes CSP. Les fonctions de contrainte locales prennent des entrées booléennes et peuvent être des fonctions symétriques à valeur réelle arbitraires. Nous prouvons que chaque problème de cette classe appartient précisément à trois catégories:

(1) ceux qui sont traitables (c'est-à-dire, le temps polynomial calculable) sur les graphiques généraux, ou
(2) ceux qui sont # P-dur sur les graphiques généraux mais traitables sur les graphiques planaires , ou
(3) ceux qui sont # P-dur même sur les graphes planaires.

Les critères de classification sont explicites.

— Martin Schwarz
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2

Cela ne répond pas à la question. La catégorie (2) peut-elle être divisée en (2a) tractable pour les graphes planaires mais # P-dur pour les graphes toroïdaux, et (2b) tractable pour les graphes à genre borné mais # P-dur pour les graphes à genre non borné?

— Jeffε

3

Le cas (2) consiste en des problèmes qui peuvent être réduits à compter les correspondances parfaites dans les graphiques planaires en introduisant des gadgets planaires locaux. Il est également connu que les appariements parfaits peuvent être comptés en temps polynomial sur des graphiques de genre borné. Ainsi, tous les problèmes dans le cas (2) sont en fait traitables sur des graphes de genre borné.

— Radu Curticapean

2

Pour tout fixe , il existe un algorithme à temps polynomial pour déterminer si un graphe a un genre (au plus) . Soit tout problème NP-complet sur les graphiques de genre supérieurs à (par exemple, 3 colorisabilité). Pour chaque fixe , le problème "Le graphique d'entrée a-t-il au plus genre ou est-il en (ou les deux)?" est NP-complet pour l'entrée générale mais a un algorithme polynomial lorsque l'entrée est restreinte aux graphiques de genre au plus . $g$ $g$ $X_g$ $g$ $g$ $g$ $X_g$ $g$

$\mathcal C$ $\mathcal C$

— David Richerby
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