Isomorphisme sous-graphique avec un arbre

Si nous avons un grand graphe (dirigé) et un arbre enraciné plus petit , quelle est la complexité la plus connue pour trouver des sous-graphes de isomorphes à ? Je connais les résultats de l'isomorphisme des sous -arbres où et sont des arbres et où est planaire ou a une largeur d'arbre limitée (et d'autres), mais pas pour ce graphique et ce cas d'arbre. $G$ $H$ $G$ $H$ $G$ $H$ $G$

ds.algorithms reference-request graph-theory

— Raphael
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Voulez-vous dire un sous-graphique induit, au lieu d'un sous-graphique?

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

@Kristoffer, je m'intéresse aux deux. Ai-je raté quelque chose de trivial dans le cas non induit?

— Raphael

Votre problème est NP-difficile même si

est un chemin, car le problème de chemin le plus long (induit ou non induit) est NP-dur.

H

$H$

— Yota Otachi

Oui. Je suis intéressé par ce que l'on sait de plus qui est particulier pour

étant un arbre. Par exemple, en fonction des propriétés de

telles que celles de la question ou en supposant que

est fixe, etc.

H

$H$

G

$G$

H

$H$

— Raphael

Le problème de chemin induit est W [1] -complet (Papadimitriou-Yannakakis 1991) tandis que le problème de chemin (non induit) est FPT (Monien 1985). Voir aussi Chen-Flum 2007. Je veux également connaître la complexité paramétrée pour d'autres classes d'arbres.

— Yota Otachi

Réponses:

La question de savoir si un graphe fixe est un sous-graphe (induit) de est une propriété définissable du premier ordre, c'est-à-dire que pour chaque il existe une formule ( ) telle que est un sous-graphe (induit) de si et seulement si ( ). $H$ $G$ $H$ $\varphi_H$ $\psi_H$ $H$ $G$ $G \models \varphi_H$ $G\models\psi_H$

Il était auparavant connu que le problème de vérification de modèle est traitable à paramètres fixes sur des classes de graphiques qui excluent (localement) un mineur et sur des classes d' expansion bornée (localement) . Récemment, Grohe, Kreutzer et S. ont annoncé un méta-théorème encore plus général, déclarant que chaque propriété de premier ordre peut être décidée en temps presque linéaire sur des classes de graphiques nulle part denses.

Pour votre question, cela implique ce qui suit. Soit un arbre enraciné fixe. Ensuite, il peut être décidé en temps linéaire si est un sous-graphe (induit) d'un graphe d'entrée (dirigé ou non dirigé) si est planaire, ou plus généralement est d'une classe qui exclut un mineur ou d'une classe d'expansion bornée. Le problème peut être résolu en temps presque linéaire si appartient à une classe qui exclut localement un mineur ou à une classe d'expansion limitée localement ou plus généralement, appartient à une classe nulle de graphiques denses. $H$ $H$ $G$ $G$ $G$ $G$

— Sebastian Siebertz
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Il peut être résolu en un temps aléatoire aléatoire où est la taille du petit arbre dirigé à trouver et est le nombre d'arêtes du grand graphique dirigé dans lequel le trouver. Voir le théorème 6.1 d'Alon, N., Yuster, R. et Zwick, U. (1995). Code de couleurs. J. ACM 42 (4): 844–856 . Alon et al. indiquent également que leur algorithme peut être dérandomisé mais ne donne pas les détails de cette partie; Je pense que le temps déterministe peut être un peu plus grand, quelque chose de plus comme $O(2^km)$ $k$ $m$ . $O(k!\,m)$

— David Eppstein
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La version dérandomisée devrait être comme d'habitude, par exemple comme la façon dont ils sont décrits dans la section 4, en utilisant simplement la fonction de hachage parfaite pour mapper

nœuds à

couleur, ce qui entraîne un facteur supplémentaire de

. (peut également être amélioré pour

facteur, signifie totalement est

n

$n$

k

$k$

\log^{2} n

$\log^2 n$

\log n

$\log n$

O (2^{k} \cdot m \cdot \log n)

$O(2^k \cdot m \cdot \log n)$

— Saeed

$H$

— Radu Curticapean
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