Existe-t-il des preuves d'existence d'algorithmes non constructives?

Je me souviens que j’ai peut-être rencontré des références à des problèmes qui se sont révélés pouvoir être résolus avec une complexité particulière, mais sans aucun algorithme connu pour atteindre réellement cette complexité.

J'ai du mal à comprendre comment cela peut être le cas; à quoi ressemblerait une preuve non constructive de l’existence d’un algorithme.

Existe-t-il réellement de tels problèmes? Ont-ils beaucoup de valeur pratique?

Considérons la fonction (prise d' ici )

$\qquad \displaystyle f(n) = \begin{cases} 1 & 0^n \text{ occurs in the decimal representation of } \pi \\ 0 & \text{else}\end{cases}$

Malgré les apparences, est calculable par l'argument suivant. Soit$f$

1. se produit pour chaque n ou$0^n$$n$
2. il y a un pour que 0 k se produise mais pas pour 0 k + 1 .$k$$0^k$$0^{k+1}$

Nous ne savons pas où il est (encore), mais nous savons que avec$f \in F = \{f_\infty, f_0, f_1, \dots \}$

1. et$f_\infty(n) = 1$
2. .$f_k(n) = [n \leq k]$

Puisque , f est calculable - mais nous ne pouvons pas dire ce que f est.$F \subset \mathsf{RE}$$f$$f$

Ce n'est peut-être pas tout à fait ce que vous voulez dire, mais l' algorithme d'arbre de recouvrement minimal optimal de Seth Pettie et Vijaya Ramachandran est en quelque sorte non constructif.

La question de savoir s'il existe un algorithme déterministe pour calculer les arbres recouvrants minimaux en temps linéaire (signifiant ) est une question ouverte . Pettie et Ramachandran décrivent un algorithme qui calcule les MST en temps linéaire si un tel algorithme existe .$O(n+m)$

Intuitivement, leur algorithme réduit toute instance -vertex du problème de MST à O ( n / k ) les petits cas avec O ( k ) sommets dans le temps linéaire, où (disons) k = O ( log log log log log log log n ) . Ensuite, ils calculent l'arbre de comparaison optimal qui calcule l'arbre de recouvrement minimal de tout graphe k -vertex par énumération de la force brute; même si cela prend un temps quintuplement exponentiel en k , c'est seulement $n$$O(n/k)$$O(k)$$k = O(\log\log\log\log\log\log\log n)$$k$$k$ heure. Enfin, ils résolvent les petites instances à l'aide de cet arbre de décision optimal.$O(\log\log n)$

En d’autres termes, Pettie et Ramachandran ne construisent un algorithme optimal de MST qu’indirectement, en construisant un algorithme qui construit un algorithme optimal de MST.

Voici deux exemples.

1. Certains algorithmes utilisant le théorème de Robertson-Seymour . Le théorème indique qu'il existe une obstruction finie pour chaque cas, mais ne permet pas de trouver un tel ensemble fini. Par conséquent, bien que nous puissions prouver que l'algorithme existe, sa déclaration explicite dépendra de l'ensemble d'obstruction finie que nous ne savons pas trouver. En d'autres termes, nous savons qu'il existe un algorithme, mais nous ne savons pas (encore) comment en trouver un.

2. Un exemple plus fort, bien que moins naturel, consiste essentiellement à utiliser PEM ou des axiomes non constructifs similaires. Ceci est d'autant plus fort que nous pouvons prouver que l'existence constructive d'un algorithme impliquerait un axiome non constructif (similaire aux contre-exemples faibles de Brouwer ). Un tel exemple est plus fort, car il dit non seulement que nous ne connaissons actuellement aucun algorithme explicite (ni aucune méthode algorithmique permettant de le trouver), mais qu’il n’ya aucun espoir de le faire.

   À titre d'exemple, nous pouvons utiliser PEM pour prouver qu'un algorithme existe alors que nous ne savons pas lequel et un moyen constructif de le trouver impliquerait un axiome non constructif. Laissez-moi vous donner un exemple simple:

   Arrêter le problème est décidément trivial pour chaque machine de Turing fixe (chaque TM s’arrête ou ne s’arrête pas, et dans chaque cas, il existe un TM qui fournit la bonne réponse), mais comment pouvons-nous trouver un algorithme résolvant le problème correctement sans solution ( la version uniforme de) le problème de halte?

   Plus formellement, nous ne pouvons pas prouver de manière constructive qui donne une TM , il y a un TM H T qui décide le problème de l' arrêt pour M . Plus formellement, l'énoncé suivant ne peut être prouvé de manière constructive:$M$$H_T$$M$

   $$\forall e\in \mathbb{N} \ \exists f\in \mathbb{N} \ \left[ (\{f\}( \ )=0 \land \{e\}\mathord{\downarrow}) \lor (\{f\}( \ )=1 \land \{e\}\mathord{\uparrow}) \right]$$

   Ici est le TM avec le code e (dans une représentation fixe de mémoires de traduction), { e } ↓ moyens { e } arrêts, et { f } ↑ moyens { f } ne pas arrêter.$\{e\}$$e$$\{e\}\mathord{\downarrow}$$\{e\}$$\{f\}\mathord{\uparrow}$$\{f\}$

Oui.

À un moment donné en (1), le théorème de dichotomie d'homomorphisme de graphes de comptage à pondération complexe pour toute taille de domaine fini, Cai, Chen et Lu prouve seulement l'existence d'une réduction polynomiale de temps entre deux problèmes de comptage via interpolation polynomiale. Je ne connais aucune valeur pratique pour un tel algorithme.

Voir la section 4 de la version arXiv. Le lemme en question est le lemme 4.1, appelé le "premier lemme d'épinglage".

Une façon de rendre cette preuve constructive est de prouver la version pondérée complexe d’un résultat de Lovasz , à savoir:

Pour toutes les , Z H ( G , w , i ) = Z H ( G , w , j ) si et seulement si il existe un automorphisme f de G tel que f ( i ) = j .$G$$Z_H(G, w, i) = Z_H(G, w, j)$$f$$G$$f(i) = j$

Ici, est un sommet dans H , i et j sont des sommets dans G , et Z H ( G , w , i ) est la somme de tous les homomorphismes de graphes à pondération complexe de G à H avec la restriction supplémentaire que i doit être cartographié. à w .$w$$H$$i$$j$$G$$Z_H(G, w, i)$$G$$H$$i$$w$

(1) Jin-Yi Cai, Xi Chen et Pinyan Lu, Homomorphismes de graphes à valeurs complexes: un théorème de dichotomie ( arXiv ) ( ICALP, 2010 ).

Quelques premiers résultats de la fin des années 80:

• Fellows et Langston, " Outils non constructifs pour prouver la décidabilité en temps polynomial ", 1988

• Brown, Fellows, Langston, " Auto-réductibilité dans le temps polynomial: motivations théoriques et résultats pratiques ", 1989

Extrait du résumé du deuxième article:

Les avancées fondamentales récentes de la théorie des graphes ont toutefois mis à la disposition de nouveaux outils puissants non constructifs pouvant garantir l'appartenance à P. Ils ne révèlent pas non plus si un tel algorithme de décision peut être utile à la construction d’une solution. Nous passons brièvement en revue et illustrons l’utilisation de ces outils, et discutons de la tâche apparemment fastidieuse de trouver les algorithmes de décision polynomiaux promis lorsque ces nouveaux outils s’appliquent.

Un exemple d'une famille infinie de problèmes (de valeur pratique discutable) pour lesquels nous pouvons montrer:

1. Pour chaque problème, il existe un algorithme pour le résoudre.
2. Qu'il n'y a aucun moyen de construire ces algorithmes (en général).

En d'autres termes, une preuve irréfutable non constructive. Notre famille de problème (de cette question ) pour chaque machine de Turing :$M$

$L_{M}=\Bigl\{\langle M'\rangle \;\Big|\;\; L(M)=L(M') \text{ and } |\langle M\rangle| \geq | \langle M' \rangle| \Bigr\}$

1. $M$

2. $P$$M$$P(\langle M \rangle)$$L_M$$M$$M'$$|\langle M \rangle | \geq |\langle M' \rangle|$$P(\langle M \rangle)(\langle M' \rangle)$$P$

Extrait de "Théorie de la bidimensionnalité et de la théorie mineure du graphique algorithmique" pour le didacticiel de MohammadTaghi Hajiaghayi, de Mareike Massow, Jens Schmidt, Daria Schymura et Siamak Tazari.

Chaque propriété de graphique mineur-fermé peut être caractérisée par un ensemble fini de mineurs interdits.

Malheureusement, leur résultat est «intrinsèquement» non constructif, c'est-à-dire qu'aucun algorithme ne permet généralement de déterminer quels mineurs doivent être exclus pour une propriété de graphe mineure fermée donnée. De plus, le nombre de mineurs interdits peut être élevé: par exemple, pour les graphes intégrables sur le tore, plus de 30 000 mineurs interdits sont connus, mais la liste est incomplète.

[...]

Chaque propriété de graphique mineur-fermé peut être décidée en temps polynomial (même en temps cubique).

Lemme local algorithmique de Lovász - "le lemme local algorithmique de Lovász fournit un moyen algorithmique de construire des objets qui obéissent à un système de contraintes avec une dépendance limitée. pour éviter les mauvais événements. " Sur certaines hypothèses / limitations de la distribution, un algorithme construit est donné par Moser / Tardos [1]. le lemme local de Lovasz semble avoir plusieurs liens profonds avec la théorie de la complexité, par exemple, voir [2]

[1] Une preuve constructive de la lemma locale de Lovász par Moser, Tardos

[2] La lemme et la satisfaction locales de Lov´asz Gebauer, Moser, Scheder, Welzl