Numérotation des sous-ensembles

Fixe . Pour tout n assez grand , nous aimerions étiqueter tous les sous-ensembles de { 1 .. n } de taille exactement n / k par des entiers positifs de { 1 ... T } . Nous aimerions que cet étiquetage satisfasse la propriété suivante: il y a un ensemble S d'entiers, st$k\ge5$$n$$\{1..n\}$$n/k$$\{1...T\}$$S$

1. Si sous - ensembles de taille n / k ne pas recoupé ( par exemple l'union de ces ensembles forment tout l'ensemble { 1 .. n } ), la somme de leurs étiquettes est en S .$k$$n/k$$\{1..n\}$$S$
2. Dans le cas contraire, la somme de leurs étiquettes ne sont pas en .$S$

Existe-t-il un et un étiquetage, st T ⋅ | S | = O ( 1,99 n ) ?$k\ge5$$T\cdot|S|=O(1.99^n)$

Par exemple, pour tout nous pouvons étiqueter les sous-ensembles de la manière suivante. T = 2 n , chaque sous-ensemble a n bits dans leur nombre: le premier bit est égal à 1 si le sous-ensemble contient 1 , le deuxième bit est égal à 1 si le sous-ensemble contient 2 etc. Il est facile de voir que S ne contient qu'un seul élément 2 n - 1 . Mais ici T ⋅ | S | = Θ ( 2 n ) . Pouvons-nous faire mieux?$k$$T=2^n$$n$$1$$1$$1$$2$$S$$2^n-1$$T\cdot|S|=\Theta(2^n)$

Une réponse partielle est que, même pour , un tel étiquetage n'existe pas.$k$

Pour un ensemble de sous-ensembles disjoints S 1 , … , S t (de taille n / k , soit f ( S 1 , … , S t ) la somme de leurs valeurs).$t$$S_1, \ldots, S_{t}$$n/k$$f(S_1, \ldots, S_t)$

Affirmation: si et S 1 ∪ … ∪ S t ≠ S ′ 1 ∪ … ∪ S ′ t alors f ( S 1 , … , S t ) ≠ f ( S ′ 1 , … , S ′ t ) .$t < k$$S_1 \cup \ldots \cup S_t \ne S'_1 \cup \ldots \cup S'_t$$f(S_1, \ldots, S_t) \ne f(S'_1, \ldots, S'_t)$

Pour voir pourquoi la prétention est vraie, choisissez un ensemble tel que ⋃ k i = 1 S i = [ n ] mais alors l'un de ces nouveaux ensembles coupe l'un des S ′ i afin f ( S 1 , … , S k ) ne doit pas être identique à f ( S ′ 1 , … , S ′ t , $S_{t+1}, \ldots, S_{k}$$\bigcup_{i=1}^{k} S_i = [n]$$S'_i$$f(S_1, \ldots, S_k)$.$f(S'_1, \ldots, S'_t, S_{t+1}, \ldots, S_k)$

Corollaire: .$T > {n \choose tn/k}/t$

Le réglage donne une borne inférieure de T ≥ 2 ($t = k/2$.$T \ge 2{n \choose n/2}/k = \Omega(2^n/\sqrt{n})$

Notez que pour impair, on obtient une borne inférieure d'ordre ($k$${n \choose n(1-1/k)/2} \approx 2^{H((1-1/k)/2)n} = 2^{n(1-O(1/k^2))}$$k = 5$$H((1-1/k)/2) = H(0.4) \approx 0.97$$1$

$k$

Ce n'est pas une réponse, juste une explication pour laquelle pour k = 2, un tel étiquetage ne peut pas exister (je suis sûr que cela était déjà connu d'Alex, donc c'est juste un article pour d'autres lecteurs comme moi ...)

$T\ge {n \choose n/2}\ge 1.99^n$${n \choose n/2}$$T\ge {n \choose n/2}$

Pour un ka plus grand, un argument similaire montre que toutes les étiquettes doivent être différentes, mais cela ne donne qu'une borne inférieure exponentielle plus faible. Donc déjà k = 3 semble inconnu.