Quel est le biais des polynômes aléatoires de faible degré par rapport à GF (2)?

$p$$\le d$$bias(p) \triangleq |\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=0)-\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=1)| \gt \epsilon$

* Lorsque j'écris un polynôme aléatoire avec des variables de degré et n, vous pouvez penser à chaque monôme de degré total choisi avec une probabilité 1/2.≤ $\le d$$\le d$

La seule chose pertinente que je connaisse est une variante de Schwartz-Zippel qui déclare que si le polynôme n'est pas constant, alors son biais est au plus . Par conséquent, pour la probabilité est exactement de 1 / {2 ^ {{n \ choisissez 1} + \ ldots + {n \ choisissez d}}} où il s'agit de la probabilité que p soit une constante. Malheureusement, ce \ epsilon est assez grand.$1-2^{1-d}$$\epsilon=1-2^{1-d}$$1/{2^{{n \choose 1}+\ldots+{n \choose d}}}$$p$$\epsilon$

L'article «Les polynômes aléatoires de faible degré sont difficiles à estimer» de Ben-Eliezer, Hod et Lovett répond à votre question. Ils montrent de fortes limites sur la corrélation des polynômes aléatoires de degré avec des polynômes de degré au plus , en analysant le biais des polynômes aléatoires. Voir leur lemme 2: le biais d'un polynôme aléatoire de degré (jusqu'à un linéaire en ) est au maximum de , sauf avec la probabilité .$d$$d-1$$d$$d$$n$$2^{-\Omega(n / d)}$$2^{-\Omega\Big(\binom{n}{\le d}\Big)}$

Votre question équivaut à des limites de queue sur la répartition des poids des codes Reed-Muller. Comprendre la distribution de poids des codes Reed-Muller est une question ancienne et difficile dans la théorie du codage, et plusieurs résultats intéressants sont connus à ce sujet (la distribution de poids n'est complètement comprise que pour et ). Comme excellent point de départ, voir «Répartition du poids et taille de décodage de liste des codes Reed-Muller» par Tali Kaufman, Shachar Lovett, Ely Porat et les références qui y figurent.$d=1$$d=2$