Génération de graphiques de circonférence

Soit . J'ai besoin de générer de simples graphiques G de circonférence g de telle sorte que l'ensemble de tous les g- cycles forme une couverture de double bord de G (c'est-à-dire que chaque bord est partagé par exactement deux g- cycles), et de telle sorte que l'intersection de deux g -cycles est soit un sommet, soit une arête, soit vide. Les graphiques générés doivent être arbitrairement grands.$g\geq 3$$G$$g$$g$$G$$g$$g$

La méthode de génération devrait être aléatoire, mais pas dans un sens trivial. Je veux pouvoir obtenir des graphiques assez compliqués. Par exemple, imaginez une grille rectangulaire dans le plan. Si nous identifions les côtés opposés du rectangle englobant, nous obtenons un graphique qui satisfait toutes les exigences ci-dessus pour g = 4 . Je qualifierais ce graphique de simple.$n\times m$$g=4$

Existe-t-il une telle méthode?

Toute référence à des problèmes similaires est également appréciée.

Mon idée à moitié cuite était un peu trop ambitieuse. Je l'inclus ci-dessous pour référence, mais la condition de distance que j'ai spécifiée n'est pas réellement suffisante pour garantir une grande circonférence.

Il existe des cartes de surface arbitrairement grandes et hautement symétriques avec une circonférence importante, mais les preuves d'existence publiées sont largement basées sur la théorie des groupes plutôt que sur la topologie ou la géométrie en soi.

Plus précisément, pour des entiers quelconques , d et r de telle sorte que 1 / g + 1 / d < 1 / deux , il y a une feuille de surface régulière dans laquelle chaque surface a g arêtes, chaque sommet est de degré d , et chaque non-contractile cycle sur la surface traverse au moins r bords. Ici, "régulier" signifie à la fois que chaque sommet a le même degré et que pour toute paire d'arêtes dirigées, il y a un automorphisme de l'incorporation qui envoie l'arête dirigée à l'autre. Réglage $g$$d$$r$$1/g + 1/d < 1/2$$g$$d$$r$$r$suffisamment grand dans cette construction garantit que la circonférence du graphique est . Voir par exemple:$g$

• Roman Nedela et Martin Škoviera. Cartes régulières sur des surfaces de grande largeur plane. European J. Combinatorics 22 (2): 243--262, 2001.

• Jozef Širáň. Représentations de groupes triangulaires et constructions de cartes régulières. Proc. London Math. Soc. 82 (3): 513-532, 2001.

Une fois que vous avez une telle carte de surface, des cartes plus grandes avec la même circonférence et le même degré peuvent être générées en construisant des espaces de couverture.

Voici une façon (semi-cuite) de générer de tels graphiques. Soit un graphe plan avec les propriétés suivantes:$G$

• Chaque face bornée de a exactement g arêtes.$G$$g$

• La face externe de a un nombre pair d'arêtes; appeler ces les arêtes de délimitation de G . (Cette condition s'applique automatiquement lorsque g est pair; si g est impair, G doit avoir un nombre pair de faces bornées.)$G$$G$$g$$g$$G$

• Il est possible de coupler les bords limites de , de sorte que la distance en G de tout bord limite à son partenaire soit d'au moins g . Cette condition n'est pas réellement suffisante; la condition exacte requise ici n'est pas claire.$G$$G$$g$

Des graphes de plan arbitrairement grands avec ces propriétés peuvent être construits en prenant une portion finie suffisamment grande d'un pavage régulier du plan hyperbolique par des gons$g$ .

Enfin, pour obtenir un graphe surfacique où chaque face a une longueur g , identifier les paires d'arêtes limites en G selon l'appariement décrit ci-dessus. Les faces bornées de G deviennent les faces d'un encastrement cellulaire de G ' sur une surface fermée sans frontière. La condition de distance sur l'appariement garantit que la circonférence de G ' est  g .$G'$$g$$G$$G$$G'$$G'$$g$

En choisissant les deux et le jumelage avec plus de soin, une fois peut construire arbitrairement grand d - réguliers graphiques satisfaisant votre état de circonférence, pour tous entiers d et g telle que 1 / d + 1 / g < 1 / 2 . Même dans ces contraintes, la construction a beaucoup de degrés de liberté.$G$$d$$d$$g$$1/d + 1/g < 1/2$