Intégrations de distorsion moyennes

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$(X, d)$ $(Y, f)$ $\mu : X \rightarrow Y$ $\mu$

ρ = max_{p, q \in X} {\frac{d (x, y)}{f (μ (x), μ (y))}, \frac{f (μ (x), μ (y))}{d (x, y)}}

$\rho = \max_{p,q \in X} \{ \frac{d(x,y)}{f(\mu(x), \mu(y))}, \frac{f(\mu(x), \mu(y))}{d(x,y)} \}$

Il existe cependant d'autres mesures de la qualité: Dhamdhere et al étudient la distorsion "moyenne":

σ = \frac{\sum d (x, y)}{\sum f (μ (x), μ (y))} .

$\sigma = \frac{\sum d(x,y)}{\sum f(\mu(x), \mu(y))}.$

Cependant, la mesure qui m'intéresse ici est celle utilisée par les méthodes de type MDS, qui examine l' erreur additive moyenne:

ε^{2} = \sum | d (x, y) - f (μ (x), μ (y)) |^{2}

$\varepsilon^2 = \sum | d(x,y) - f(\mu(x), \mu(y))|^2$

Bien que les méthodes de type MDS soient largement étudiées en dehors de la communauté theoryCS, je ne connais qu'un seul article ( par Dhamdhere et al ) qui examine l'optimisation sous cette mesure, et cela aussi pour le problème limité d'intégration dans la ligne ( ) (note latérale: la thèse de MS de Tasos Sidiropoulos 2005 a une belle revue des travaux antérieurs) $Y = \mathbb{R}$

Existe-t-il des travaux plus récents que les gens connaissent concernant l'analyse rigoureuse de la qualité sous cette notion d'erreur? Bien que ces problèmes soient généralement difficiles à NP, ce qui m'intéresse le plus, ce sont les approximations de toute nature.

approximation-algorithms cg.comp-geom embeddings

— Suresh Venkat
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3

Ceci est une belle question. Je ne connais pas les algorithmes d'approximation, mais les résultats de dureté connus pour l'approximation de la distorsion minimale (et les problèmes connexes tels que l'étiquetage métrique) devraient également montrer que est difficile à estimer. $\epsilon^2$

La raison en est qu'ils donnent une réduction à partir d'un problème NP-dur tel que dans le cas OUI la distorsion est et dans le cas NON la distorsion est pour au moins une fraction constante des bords. Par conséquent, dans le cas OUI, sera un facteur plus petit que dans le cas NON. Pour plus de détails, voir par exemple l'article de Khot-Saket: www.cs.cmu.edu/~rsaket/pubs/approx.pdf $O(1)$ $\Omega(k)$ $\epsilon^2$ $k$

Je ne sais pas exactement quel facteur de dureté découle de leur papier, mais cela ne devrait pas être difficile à comprendre. (Je suppose qu'au moins le facteur que vous obtenez pour l'étiquetage métrique devrait suivre.) $\log^c(n)$

— Moritz
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c'est une bonne suggestion. Je vais certainement examiner le travail d'étiquetage métrique. Il est connu que même l'intégration sur la ligne est MAX SNP-difficile, mais il serait intéressant (bien que décevant) de voir des résultats plus solides.

— Suresh Venkat

2

Il me manque peut-être quelque chose, mais pourquoi ? Nous sommes intéressés par une approximation additive, donc nous ne pouvons pas mettre à l'échelle pour faire pour tout , non? $\epsilon^2 \le (\rho-1)\sum d(x,y)^2$ $f(\mu(x), \mu(y)) \ge d(x,y)$ $x,y$

Un avantage ici est que nous pouvons mal faire sur de courtes longueurs et être OK finalement. De plus, le problème est-il facile (à rapprocher, même) si, par exemple, nous voulons intégrer dans ? (pouvons-nous écrire un programme mathématique pour saisir la question?) $\ell_2$

— aditya
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Bon point. J'ai changé ma réponse.

— Moritz

cela dépend de la formulation. Si vous posez le problème en minimisant pour un sous-espace cible de dimension fixe, les contraintes de classement posent des problèmes. Si vous utilisez la formulation "de style JL" (c.-à-d. Corrigez l'erreur et trouvez la bonne dimensionnalité), alors quelque chose pourrait être faisable.

ϵ

$\epsilon$

— Suresh Venkat

Une quantité qui peut être utile pour «concurrencer» est . Considérez le problème d'intégration dans (j'ai suggéré plus tôt, mais il a le sqrt désordonné). Nous devons clairement viser à obtenir des plongements qui ont étant (dans un sens vague, cela signifie que nous sommes hors multiplicativement pour la plupart des . Pouvons-nous obtenir un tel plongement pour, par exemple, des expanseurs (degré const)? (ou prouver que ce n'est pas possible?)

S := \sum d (x, y)^{2}

$S:= \sum d(x,y)^2$

ℓ_{1}

$\ell_1$

ℓ_{2}

$\ell_2$

ϵ^{2}

$\epsilon^2$

o (S)

$o(S)$

(1 + o (1))

$(1+o(1))$

x, y

$x,y$

— aditya