Largeur d'arbre et emballage

Ma question est un peu vague. Je me demandais si (et comment), nous pouvons appliquer la notion de largeur d'arbre aux problèmes d'emballage dans les graphiques.

Je serais heureux de tout aperçu ou référence de travaux de recherche antérieurs à ce sujet (en supposant qu'il s'agit d'une relation). Merci.

Je peux interpréter cette question de deux manières différentes:

1) En ce qui concerne les propriétés algorithmiques des problèmes d'emballage sur les graphiques de largeur d'arbre bornée, le théorème de Courcelle montre que pour chaque fixe, nous pouvons résoudre de manière optimale les problèmes exprimables dans la logique du second ordre monadique en temps linéaire sur des graphiques de largeur d'arbre au plus k (voir par exemple http://dx.doi.org/10.1093/comjnl/bxm037$k$$k$pour une étude des propriétés algorithmiques des graphes à largeur d'arbre bornée). Étant donné que de nombreux problèmes d'emballage peuvent être formulés dans MSOL, cela prouve la traçabilité de nombreux problèmes de ce type sur des graphiques de largeur d'arbre limitée, y compris l'ensemble indépendant, l'emballage triangulaire, l'emballage cyclique, l'emballage de copies disjointes sommet / bord de tout graphique fixe, l'emballage de modèles mineurs sommet-disjoint d'un graphique fixe H, etc. Mais comme cette tractabilité s'étend à tous les problèmes définissables par MSOL, elle n'est pas spécifique à l'emballage.

2) En ce qui concerne les relations structurelles entre les emballages et la largeur d'arbre, les éléments suivants peuvent être intéressants. Grâce aux travaux de Robertson et Seymour, il est connu qu'il existe une fonction telle que chaque graphe de largeur d'arbre au moins f ( r ) contient une grille r × r en tant que mineur (la limite d'origine pour f donnée par Seymour et Robertson ont ensuite été améliorés en collaboration avec Thomas; voir http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0095895684710732 pour la meilleure limite actuelle). Donc, si vous avez une structure S telle que de nombreuses copies de $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$f(r)$$r \times r$$f$$S$$S$peut être emballé dans un grille de mineur, alors vous savez que tout graphe de grande largeur arborescente contient un grand emballage de copies de S . Par exemple, comme une grille r × r (pour même r ) contient ( r / 2 ) 2 cycles sommet-disjoints, il s'ensuit qu'un graphique de la largeur d'arbre f ( r ) contient au moins ( r / 2 ) 2 cycles disjoints.$r \times r$$S$$r \times r$$r$$(r/2)^2$$f(r)$$(r/2)^2$

Le problème d'ensemble indépendant maximum est un problème de compression (vous pouvez le considérer comme la compression d'étoiles disjointes), et il a un algorithme bien connu avec un temps d'exécution de dans les graphiques avec une largeur d'arbre au plus k .$2^k \operatorname{poly(n)}$$k$

Une merveilleuse référence sur ce sujet est l'article d'enquête de Bruce Reed ci-dessous.

Reed, B. (1997). Largeur et enchevêtrement des arbres: une nouvelle mesure de connectivité et certaines applications. Surveys in combinatorics, 241, 87-162.

Un de mes articles récents permet de contourner le théorème mineur de la grille dans certains cas via des théorèmes de décomposition en largeur d'arbre. Voir le papier ci-dessous.

Décompositions et applications de graphiques à grande largeur d'arbre http://arxiv.org/abs/1304.1577

C'est aussi une réponse vague. Il existe une dualité similaire au théorème d'Erdos-Posa pour les graphiques de largeur d'arbre bornée. Voir, par exemple, Fedor V. Fomin, Saket Saurabh, Dimitrios M. Thilikos: Strengthening Erdös-Pósa property for minor-closed graph classes. Journal of Graph Theory 66 (3): 235-240 (2011)