Un langage NP dense complet implique P = NP

On dit que le langage est dense s'il existe un polynôme tel que pour tous lesEn d'autres termes, pour une longueur donnée, il n'existe que de nombreux mots polynomiaux de longueur qui ne sont pas en $J \subseteq \Sigma^{*}$ $p$

| J^{c} \cap Σ^{n} | \leq p (n)

$|J^c \cap \Sigma^n| \leq p(n)$

n \in N .

$n \in \mathbb{N}.$

n

$n$

n

$n$

J .

$J.$

Le problème que j'étudie actuellement demande de montrer ce qui suit

S'il existe un langage dense complet, alors $NP$ $P = NP$

Ce que le texte suggère est de considérer la réduction polynomiale à - puis de construire un algorithme qui essaie de satisfaire la formule donnée tout en générant des éléments dans $3$ $SAT$ $CNF$ $J^c.$

Ce que je me demande c'est

Y a-t-il une preuve plus directe? Cette notion est-elle connue dans un cadre plus général?

— Jernej
source

Il existe une notion connexe de langages clairsemés , dans laquelle la condition est tout le contraire: .

| J \cap Σ^{n} | \leq p (n)

$|J \cap \Sigma^n| \leq p(n)$

— Yuval Filmus

Découvrez le théorème de Mahaney .

— Pål GD

@ PålGD Se transformer en réponse? (en supposant que l'argument se prolonge dans les langues denses)

— Yuval Filmus

Réponses:

C'est un joli problème de devoirs à propos du théorème de Mahaney.

Notez que le complément d'une langue "dense" est une langue clairsemée. De plus, si une langue est complète, son complément est complet. $\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

S'il existe une langue "dense" en complète, il y a une langue clairsemée complète. $\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

Le théorème de Mahaney nous dit qu'il n'y a pas clairsemés langue -complete à moins que . $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

Nous pouvons adopter la preuve pour montrer qu'il n'y a pas de langage incomplet moins que qui soit équivalent à (puisque est fermé sous compléments). $\mathsf{coNP}$ $\mathsf{P}=\mathsf{coNP}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$

En résumé, la réponse est non moins que . Notez que si alors chaque langue non triviale est -complète. $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

ps: Vous voudrez peut-être essayer ce qui suit et ensuite utiliser le théorème de Mahaney: il y a un ensemble incomplet -complet ssi il y a un ensemble clairsemé -complet. Cependant, je doute qu'une preuve de cette affirmation serait beaucoup plus facile qu'une preuve du théorème de Mahaney. $\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

— Kaveh
source

Comme mentionné ci-dessus selon le théorème de Mahaney . Langues clairsemées et denses ne pouvaient pas être à moins que . $NP-Hard$ $P=NP$

Le projet mentionné contient une preuve complète.

— Reza
source

Cela ne donne pas plus que le commentaire (qui n'est même pas le vôtre). Veuillez élaborer pour faire une bonne réponse à partir de ce message.

— Raphael

@Raphael: C'est une bonne réponse. Avez-vous vérifié le lien?

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto: Les réponses consistant uniquement en un lien sont généralement considérées comme mauvaises sur SE; voir ici .

— Raphael

@Raphael: La question à laquelle on a répondu a été résolue auparavant dans la littérature. Le lien contient une preuve complète (qui fait 6 pages). Je pense que s'il a d'autres questions, nous pourrions poursuivre la discussion.

— Reza

@Raphael: idiot. Un lien vaut mieux que rien. Si vous le souhaitez, élaborez la réponse par vous-même au lieu de blâmer un utilisateur pour avoir publié un lien utile.

— Tsuyoshi Ito