Réduction des produits dans HoTT aux encodages église / scott

Je suis donc en train de parcourir le livre HoTT avec certaines personnes. J'ai prétendu que la plupart des types inductifs que nous verrons peuvent être réduits à des types contenant uniquement des types de fonction et des univers dépendants en prenant le type du récurseur comme source d'inspiration pour le type équivalent. J'ai commencé à esquisser comment je pensais que cela fonctionnerait et après quelques trébuchements, je suis arrivé à ce que je pensais être une réponse.

\cdot \times \cdot \equiv \prod_{UNE, B, C : U} (UNE \to B \to C) \to C

$\cdot \times \cdot \equiv \prod_{A, B, C : \mathcal{U}} (A \to B \to C) \to C$

(\cdot, \cdot) \equiv λ une : UNE . λ b : B . λ C : U . λ g : UNE \to B \to C . g (une) (b)

$(\cdot, \cdot) \equiv \lambda a : A. \lambda b : B. \lambda C : \mathcal{U}. \lambda g : A \to B \to C. g(a)(b)$

je n {ré}_{UNE \times B} \equiv λ C . λ g . λ p . g (p r_{1} (p)) (p r_{2} (p))

$ind_{A \times B} \equiv \lambda C. \lambda g. \lambda p. g(pr_1(p))(pr_2(p))$

Cela donne les équations de définition correctes (les équations de définition pour et omises) mais cela signifierait que aurait le mauvais type. $pr_1$ $pr_2$ $ind_{A \times B}$

{Indiana}_{UNE \times B} : \prod_{C : UNE \times B \to U} (\prod_{une : UNE} \prod_{b : B} C ((une, b))) \to \prod_{p : UNE \times B} C ((p r_{1} (p), p r_{2} (p)))

$\text{ind}_{A \times B} : \prod_{C : A \times B \to \mathcal{U}} (\prod_{a:A} \prod_{b:B} C((a, b))) \to \prod_{p : A \times B} C((pr_1(p), pr_2(p)))$

Et il ne semble pas y avoir de solution simple à cela. J'ai également pensé à la définition suivante.

je n {ré}_{UNE \times B} \equiv λ C . λ g . λ p . p (C (p)) (g)

$ind_{A \times B} \equiv \lambda C. \lambda g. \lambda p. p(C(p))(g)$

Mais cela ne vérifie tout simplement pas.

$uniq_{A \times B}$ $C((pr_1(p), pr_2(p)))$ $C(p)$ $uniq_{A \times B}$ $uniq_{A \times B}$

Il semble donc que nous pouvons définir le récurseur ici mais pas l'inducteur. Nous pouvons définir quelque chose qui ressemble assez à l'inducteur mais qui ne le fait pas tout à fait. La récursivité nous permet d'effectuer une logique en prenant ce type comme le sens de la conjonction logique mais elle ne nous permet pas de prouver des choses sur les produits qui semblent faire défaut.

Pouvons-nous faire le genre de réduction que j'ai réclamé peut être faite? Autrement dit, pouvons-nous définir un type en utilisant uniquement des types de fonction dépendants et des univers qui ont une fonction d'appariement et une inductance avec les mêmes équations et types de définition que les produits? C'est ma suspicion croissante que j'ai fait une fausse déclaration. Il semble que nous puissions nous approcher de manière si frustrante, mais tout simplement pas tout à fait. Si nous ne pouvons pas le définir, quel type d'argument explique pourquoi nous ne pouvons pas? Les produits tels que présentés dans le livre HoTT augmentent-ils la force du système?

— Jake
source

Autant que je sache, l'encodage Church habituel nous donne un type qui admet une élimination non dépendante (récurseur), mais aucune élimination dépendante (inducteur). Votre question pourrait être liée à celle-ci . Je ne sais pas si HoTT change quelque chose à ce sujet.

— chi

Cela semble utile. Si je comprends bien, on répondrait à ma question pour le calcul prédictif des types de construction (Coq moins (co) inductif). Je cherchais des papiers qui passent en revue ces modèles (modèles de CoC qui ne sont pas des modèles de CiC) mais je n'en trouve pas. Avez-vous par hasard une source?

— Jake

Malheureusement, je n'ai pas de référence à partager. Je serais également intéressé à avoir une source à citer pour ce fait folklorique.

— chi

Je continue également à trouver des références folkloriques à ce fait, mais je n'arrive pas à trouver d'explication.

— Jake

Belle question, mais ne conviendrait-elle pas mieux sur cstheory.stackexchange.com

— Martin Berger

Réponses:

La référence standard que je donne souvent est que l' induction n'est pas dérivable dans la théorie des types dépendants du second ordre par Herman Geuvers, qui dit qu'il n'y a pas de type

N : T y p e

$N : \mathrm{Type}$

Z : N S : N \to N

$Z:N\qquad S:N\rightarrow N$

tel que

je n ré : Π P : N \to T y p e . P Z \to (Π m : N . P m \to P (S m)) \to Π n : N . P n

$\mathrm{ind}:\Pi P:N\rightarrow \mathrm{Type}.P\ Z\rightarrow (\Pi m:N.P\ m\rightarrow P\ (S\ m))\rightarrow \Pi n:N. P\ n$

est prouvable. Cela suggère qu'en effet, un tel encodage ne peut pas fonctionner pour les paires comme vous le décrivez.

Le système pour lequel cela a fait ses preuves est un sous-ensemble du calcul des constructions, qui contient des types de produits puissants et un univers. Je soupçonne que ce résultat peut être étendu au système qui vous intéresse, selon ce que vous avez.

Malheureusement, je ne connais pas la réponse complète à votre question. Je soupçonne que l'ajout de certains principes de paramétrie "en interne" est exactement ce qui est nécessaire pour que ces encodages fonctionnent avec le principe d'induction complet. Neel Krishnaswami, dont les connaissances sont un strict sur-ensemble de moi-même, a écrit un article dans ce sens avec Derek Dreyer:

Internaliser la paramétricité relationnelle dans le calcul extensionnel des constructions

L'article suivant de Bernardy, Jansson et Patterson est également intéressant (Bernardy a longuement réfléchi à ces sujets):

Paramétricité et types dépendants

De toute évidence, la paramétricité a une forte relation avec HoTT en général, mais je ne sais pas quels sont les détails. Je pense que Steve Awodey a considéré ces questions, car l'astuce d'encodage est utile dans des contextes où nous ne savons pas vraiment à quoi devraient ressembler les éliminateurs.

— cody
source

Pour que votre idée fonctionne, vous avez besoin de quelque chose en plus, comme cela a été souligné dans la réponse de @ cody. Sam Speight a travaillé sous la supervision de Steve Awodey pour voir ce qui peut être réalisé dans HoTT en utilisant un univers imprédicatif , voir Encodages imprédicatifs des types inductifs dans le blog de HoTT .

— Andrej Bauer
source