Pourquoi A implique B vrai si A est faux et B est faux?

Il me semble que le «implique» en anglais ne signifie pas la même chose que l'opérateur logique «implique», de la même manière que le mot «OU» dans la plupart des cas signifie «OU exclusif» dans notre utilisation quotidienne de la langue.

Prenons deux exemples:

Si aujourd'hui est lundi, demain est mardi.

C'est vrai .

Mais si nous disons:

Si le soleil est vert, l'herbe est verte.

Ceci est également considéré comme vrai. Pourquoi? Quelle est la «logique» en anglais naturel derrière tout cela? C'est impressionnant.

Les humains sont mauvais en logique jusqu'à ce qu'ils doivent l'utiliser pour comprendre les affaires humaines. Considérez « si puis$A$$B$ » comme une sorte de promesse: «Je vous promets que si vous faites je ferai ». Une telle promesse ne dit rien sur ce que je pourrais faire si vous ne parvenez pas à faire . En fait, je pourrais faire toute façon, et cela ne ferait pas de moi un menteur.$A$$B$$A$$B$

Par exemple, supposons que votre mère vous dise:

Si vous nettoyez votre chambre, je ferai des crêpes.

Et disons que vous n'avez pas nettoyé votre chambre, mais quand vous êtes entré dans la cuisine, votre maman faisait des crêpes. Demandez-vous si cela fait de votre maman une menteuse. Ce ne est pas! Elle ne serait menteuse que si vous nettoyiez la chambre mais elle refusait de faire des crêpes. Il pourrait y avoir d'autres raisons pour lesquelles elle a décidé de faire des crêpes (peut-être que votre sœur a nettoyé sa chambre). Votre maman ne vous a pas dit "Si vous ne nettoyez pas la pièce, je ne ferai pas de crêpes", a-t-elle fait?

Donc, si je dis

"Si le soleil est vert, l'herbe est verte."

cela ne fait pas de moi un menteur. Le soleil n'est pas vert (vous n'avez pas nettoyé la pièce), mais l'herbe s'est avérée verte de toute façon (mais votre maman a quand même fait des crêpes).

C'est une convention - nous pourrions en utiliser une autre, mais celle-ci est pratique. Voici ce que dit Terence Tao :

Ceci est discuté dans l'annexe A.2 de mon livre [Analyse 1]. La notion d'implication utilisée en mathématiques est celle d'implication matérielle, qui attribue en particulier une vraie valeur à toute implication vide. On pourrait bien sûr utiliser une convention différente pour la notion d'implication, mais l'implication matérielle est très utile pour prouver des théorèmes mathématiques, car elle permet d'utiliser des implications telles que «si A, alors B» sans avoir à vérifier d'abord si A est vrai ou non. L'implication matérielle obéit également à un certain nombre de propriétés utiles, telles que la spécialisation: si par exemple on sait pour chaque x que P (x) implique Q (x), alors on peut spécialiser cela à une valeur spécifique de $x$, disons 3, et concluons que P (3) implique Q (3). Notez cependant que ce faisant, une implication non vide peut devenir une implication vide. Par exemple, nous savons que implique x 2 ≥ 25 pour tout nombre réel x ; en le spécialisant au nombre réel 3, on obtient l'implication vide que 3 ≥ 5 implique 3 2 ≥ 25 .$x \geq 5$$x^2 \geq 25$$x$$3 \geq 5$$3^2 \geq 25$

La façon dont j'aime penser l'implication matérielle est la suivante: l'affirmation que A implique B signifie simplement que «B est au moins aussi vrai que A». En particulier, si A est vrai, alors B doit être vrai aussi; mais si A est faux, alors l'implication matérielle permet à B d'être vrai ou faux, et donc l'implication est vraie quelle que soit la valeur de vérité de B.

"A implique B" signifie (court) "si A est vrai alors B est vrai".

Cela signifie (un peu plus longtemps) "si A est vrai, alors je prétends que B est vrai; si A est faux, je ne fais aucune déclaration à propos de B".

Prenez maintenant "Si le soleil est vert, l'herbe est verte".

Dans sa forme longue, cela se traduit par "Si le soleil est vert, je prétends que l'herbe est verte; si le soleil n'est pas vert, je ne fais aucune déclaration sur la couleur de l'herbe". Le soleil n'est pas vert, je ne fais donc aucune déclaration sur la couleur de l'herbe.

Prenons un exemple. Supposons que nous voulons exprimer que est le seul élément de l'ensemble S qui satisfait la propriété P . On peut alors écrire ∀ x ∈ $a$$S$$P$ Ceci indique que tout élément de x qui satisfait P doit être égal à a . Il ne prétend rien suréléments ne correspondant pas P . Si b ne satisfait pas P et est différent de a alors P ( b ) est faux et b = a est faux, et donc P ( b ) ⇒ b = a est vrai, tout comme dans votre exemple.

Il est important de noter que de nombreuses formes de logique n'ont aucun concept de chronologie ou de causalité. Si quelque chose est vrai, alors - dans son contexte - cela aura été et continuera d'être vrai pour toujours. Dire que X implique Y ne signifie en aucun cas que X fera en sorte que Y soit vrai. Cela signifie simplement que X ne peut pas être vrai sans que Y soit également vrai, et Y ne peut pas être faux sans que X soit également faux.

Pour décrire utilement les relations causales dans le monde réel, il faut quelque chose au-delà des constructions utilisées dans la logique «intemporelle». Un concept comme « Pour toute action Y tel que X ne provoque Y être raisonnable, Y est considérée comme raisonnable » peut être utile dans un univers de cause à effet , même si X est peut - être faux, mais l'opérateur d'implication explose complètement dans de tels cas. Si l'on devait dire "X implique que Y sera réputé raisonnable" et qu'il s'avérait que X n'était jamais vrai, cela impliquerait que toutes les actions soient jugées raisonnables.

Je ne sais pas quelles formes de logique incluent les constructions nécessaires pour permettre des déclarations impliquant une causalité à sens unique, mais reconnaître que la définition logique de "implique" ne reconnaît pas les concepts de temps et de causalité devrait permettre de comprendre plus facilement pourquoi ils se comportent de manière contre-intuitive.

En utilisant Implication In English, il ne s'agit pas des choses ou des objets que nous considérons.

Comme dans votre exemple donné qui vous souffle, c'est que si le est g r e e n puis g r a s s est g r e e n .$sun$$green$$grass$$green$

Le soleil est juste un objet ici, n'y attachez aucune émotion, qu'un soleil ne peut pas être vert.

Vous pouvez simplement remplacer le soleil avec un livre ou une lettre , vert avec G et herbe avec G G . Maintenant, voyez la phrase Si le S est G alors GG est G.$S$$G$$GG$

{{S-> G} {GG-> G}}$->$

Cela semble alors moins déroutant lors de l'écriture en anglais.

Pour mettre votre tête au bon endroit pour ma réponse, je veux mentionner ce que j'aime appeler le théorème des singes volants, ou ce que Wikipedia aime appeler le principe d'explosion , qui dit:

$2+2=4$ $2+2=5$$4=5$$0=1$$16=25$$1=0$$1=-1$en abusant d'une division cachée par zéro , car vous n'êtes pas autorisé à diviser par zéro afin de pouvoir réaliser tout ce que vous voulez.

$p$$F \rightarrow T$$F \rightarrow F$