Prouver que DOUBLE-SAT est NP-complet

Le problème SAT bien connu est défini ici à titre de référence.

Le problème DOUBLE-SAT est défini comme

$\qquad \mathsf{DOUBLE\text{-}SAT} = \{\langle\phi\rangle \mid \phi \text{ has at least two satisfying assignments}\}$

Comment pouvons-nous prouver qu'il est NP-complet?

Plus d'une façon de prouver sera appréciée.

Voici une solution:

${\sf NP}$$\phi(x_1,\ldots,x_n)$$\phi$

${\sf NP}$

$\phi(x_1,\ldots,x_n)$

1. $y$
2. Formule de sortie .$\phi'(x_1,\ldots,x_n, y) = \phi(x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$

$\phi (x_1,\ldots,x_n)$$\phi$$\phi'(x_1,\ldots,x_n, y)$$y \vee \bar y$$y = 1$$y = 0$$y$$\phi'$ , ..., x n , y ) ∈ Double-SAT.$x_1$$x_n$$y$$\in$

$\phi(x_1,\ldots,x_n)\notin \text{SAT}$$\phi' (x_1,\ldots,x_n, y) = \phi (x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$ .$\phi'(x_1,\ldots,x_n,y) \notin \text{Double-SAT}$

Par conséquent, , et donc Double-SAT est N P -Complete.$\text{SAT} \leq_p \text{Double-SAT}$${\sf NP}$

$\mathsf{SAT}$$\mathsf{SAT}$$\mathsf{DOUBLE\text{-}SAT}$

$\varphi$$\varphi \lor f(\varphi)$$\varphi$$f$