Définition PTAS vs FPTAS

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D'après ce que j'ai lu dans le preliminary version of a chapter of the book “Lectures on Scheduling” edited by R.H. M¨ohring, C.N. Potts, A.S. Schulz, G.J. Woeginger, L.A. Wolsey, to appear around 2011 A.D.

Voici la définition PTAS :

Un schéma d'approximation polynomiale du temps ( PTAS ) pour le problème est un schéma d'approximation dont la complexité temporelle est polynomiale dans la taille d'entrée. $X$

et définition FPTAS

Un schéma d'approximation temporelle entièrement polynomial ( FPTAS ) pour le problème est un schéma d'approximation dont la complexité temporelle est polynomiale dans la taille d'entrée et également polynomiale dans 1 / . $X$ $\epsilon$

Ensuite, l'écrivain dit:

Par conséquent, pour un PTAS, il serait acceptable d'avoir une complexité temporelle proportionnelle à où est la taille d'entrée, bien que cette complexité temporelle soit exponentielle en . Un FPTAS ne peut pas avoir une complexité temporelle qui croît exponentiellement en mais une complexité temporelle proportionnelle à serait bien. En ce qui concerne l'approximation du pire des cas, un FPTAS est le résultat le plus fort possible que nous pouvons déduire pour un problème NP-difficile. $|I|^{1/\epsilon}$ $|I|$ $1/\epsilon$ $1/\epsilon$ $|I|^8/\epsilon^3$

Il a ensuite suggéré la figure suivante pour illustrer les relations entre les classes de problèmes:

Voici mes questions:

$1/\epsilon$
$(n+1/\epsilon)^3$
Que veut-il dire par: un FPTAS est le résultat le plus fort possible que nous pouvons déduire pour un problème NP-difficile.
Dans l'ensemble, je voudrais savoir ce que signifient exactement ces concepts et quelles sont leurs propriétés distinctes.

Merci d'avance.

— M ama D
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(n + 1 / ϵ)^{3}

$(n+1/\epsilon)^3$

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Ne postez pas plus d'une question dans un message, s'il vous plaît. Il est fort possible que la compréhension d'une réponse à votre première question fasse suivre le reste. (À mon humble avis, votre problème est que vous ne comprenez pas ce que signifie "et aussi polynôme en 1 / ϵ".)

— Raphael

n

$n$

(n + 1 / ϵ)^{3}

$(n+1/\epsilon)^3$

n

$n$

@ RickyDemer vous avez raison, je me suis trompé. Je vous remercie.

— M ama D

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Permettez-moi de répondre à vos questions dans l'ordre:

$n$ $1+\epsilon$ $n$ $1/\epsilon$ $O((n/\epsilon)^C)$ $C \geq 0$ $2^{1/\epsilon}$ $O((n/\epsilon)^C)$ $C$
$O((n/\epsilon)^C)$ $O(n^C e^{D/\epsilon})$ $\epsilon$ $E$ $1+1/n^E$
$1+\epsilon$ $(n+1/\epsilon)^3$ $\epsilon$ $O(n^3)$ $n$
$\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $n$ $\log(1/\epsilon)$ $n$ $\log(1/\epsilon)$
$C>1$ $1+\epsilon$ $e^{1/\epsilon}$ $\epsilon$ $\epsilon$ $1+1/n^C$ $C$

— Yuval Filmus
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— Raphael

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$|I|=n$ $\epsilon$ $n^{1/\epsilon}$ $n$ $\epsilon$ $\epsilon$ $1/\epsilon$ $n$ $\mathrm{poly}(n,1/\epsilon)$ $n^4 (1/\epsilon)^3 + (1/\epsilon)^8$ $n^{1/\epsilon}$ $n$ $1/\epsilon$

— Cyriac Antony
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ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

1 / ϵ

$1/\epsilon$