Le nombre de langues régulières différentes

Étant donné un alphabet , combien de langues différentes sont régulièrement là- bas qui peuvent être acceptées par un -state automate fini non déterministe? $\Sigma = \{ a,b \}$ $n$

À titre d'exemple, considérons . Nous avons alors configurations de transition différentes et configurations d'état de début et de fin différentes, nous avons donc une limite supérieure de langues différentes. Cependant, beaucoup d'entre eux seront équivalents et puisque le test est PSPACE-Complete, il est probablement impossible de tester chaque paramètre. Existe-t-il d'autres moyens ou arguments combinatoires qui limitent le nombre de langues différentes acceptées par une ressource donnée? $n=3$ $2^{18}$ $2^3$ $2^{24}$

— john_leo
source

Il n'y a que 3 configurations d'état de démarrage différentes, pas

2^{3}

$2^3$ .

— FrankW

Petite idée: les langages réguliers se caractérisent par un nombre fini de classes d'équivalence, cf. Myhill-Nerode. Combien d'ensembles de classes d'équivalence différents un automate à

n

$n$ états peut-il prendre en charge?

— Raphael

Il pourrait être utile de rechercher sur Google l'article «Sur le nombre de langues distinctes acceptées par les automates finis à n états» de Domaratzki, Kisman et Shallit.

— Hendrik Jan

voici l' url papier de citeseer

— vzn

trouvé presque la même question sur tcs.se: quel est le nombre de langues acceptées par un DFA de taille n?

— vzn

Ceci est un résumé de l'article sur le nombre de langues distinctes acceptées par les automates finis avec n États . Le document fournit relativement facile, mais loin d'être des limites strictes, inférieures et supérieures sur le nombre de langues distinctes acceptées par les NFA. Leur discussion sur le nombre de DFA distincts est très intéressante, je vais donc également inclure cette partie.

L'article commence par une asymptotique assez rigoureuse pour le nombre de langues distinctes acceptées par un DFA avec états sur un alphabet unaire. Cela se fait en observant dans quelles conditions un DFA unaire à états donné est minimal. Dans de tels cas, la description de l'automate peut être mappée (bijectivement) à un mot primitif , et l'énumération de ces mots est bien connue et effectuée à l'aide de la fonction Möbius . En utilisant ce résultat, les limites des alphabets non unaires, à la fois dans le DFA et dans le cas du NFA, sont prouvées. $n$ $n$

Allons plus en détail. Pour un alphabet à lettres, définissez $k$ Notez que. Nous commençons paret.

\begin{aligned} f_{k} (n) & = the number of pairwise non-isomorphic minimal DFA's with n states \\ g_{k} (n) & = the number of distinct languages accepted by DFA's with n states \\ G_{k} (n) & = the number of distinct languages accepted by NFA's with n states \end{aligned}

$\begin{align*} f_k(n) &= \text{the number of pairwise non-isomorphic minimal DFA's with } n \text{ states}\\ g_k(n) &= \text{the number of distinct languages accepted by DFA's with } n \text{ states}\\ G_k(n) &= \text{the number of distinct languages accepted by NFA's with } n \text{ states} \end{align*}$

g_{k} (n) = \sum_{i = 1}^{n} f_{k} (i)

$g_k(n) = \sum_{i=1}^n f_k(i)$

f_{1} (k)

$f_1(k)$

g_{1} (k)

$g_1(k)$

Dénombrement des DFA unaires

Un DFA unaire avec les états est minimal ssi $M = (Q, \{a\},\delta, q_0,F)$ $q_0,\dots, q_{n-1}$

Il est connecté. Ainsi, après avoir renommé, le diagramme de transition se compose d'une boucle et d'une queue, c'est-à-dire et pour certains . $\delta(q_i,a) = q_{i+1}$ $\delta(q_{n-1},a)=q_j$ $j \leq n-1$
La boucle est minimale.
Si , alors soit et ou et . $j \neq 0$ $q_{j-1} \in F$ $q_{n-1} \notin F$ $q_{j-1} \notin F$ $q_{n-1} \in F$

La boucle est minimale si le mot défini par $q_j,\dots, q_{n-1}$ $a_j \cdots a_{n-1}$ estprimitif, cela signifie qu'il ne peut pas être écrit sous la forme pour un motet un entier. Le nombrede mots primitifs de longueursur lesalphabets àlettres est connu, voir par exemple Lothaire,Combinatorics on Words. On a

a_{i} = {\begin{cases} 1 if q \in F, \\ 0 if q \notin F \end{cases}

$\begin{equation*} a_i = \begin{cases} 1 \quad \text{if } q \in F, \\ 0 \quad \text{if } q \notin F \end{cases} \end{equation*}$

x^{k}

$x^k$

x

$x$

k \geq 2

$k \ge 2$

ψ_{k} (n)

$\psi_k(n)$

n

$n$

k

$k$

où

est lafonction de Möbius. À l'aide de

le papier prouve des formules exactes pour

et montre que asymptotiquement (Théorème 5 et Corollaire 6),

ψ_{k} (n) = \sum_{ré | n} μ (ré) k^{n / ré}

$\begin{equation*} \psi_k(n) = \sum_{d | n} \mu(d) k^{n/d} \end{equation*}$

μ (n)

$\mu(n)$

ψ_{k} (n)

$\psi_k(n)$

f_{1} (n)

$f_1(n)$

g_{1} (n)

$g_1(n)$

\begin{aligned} g_{1} (n) & = 2^{n} (n - α + O (n 2^{- n / 2})) \\ f_{1} (n) & = 2^{n - 1} (n + 1 - α + O (n 2^{- n / 2})) . \end{aligned}

$\begin{align*} g_1(n) &= 2^n \left(n-\alpha+O \left(n 2^{-n/2} \right)\right) \\ f_1(n) &= 2^{n-1}\left(n+1-\alpha+O \left(n 2^{-n/2} \right)\right). \end{align*}$

Énumération des DFA

L'étape suivante est une borne inférieure pour . Le théorème 7 énonce que Pour un ensemble d'un automate , définissez comme la restriction de à . $f_k(n)$

f_{k} (n) \geq f_{1} (n) n^{(k - 1) n} \sim n 2^{n - 1} n^{(k - 1) n} .

$\begin{equation*} f_k(n) \ge f_1(n) n^{ (k-1)n} \sim n 2^{n-1}n^{(k-1)n}. \end{equation*}$

Δ \subset Σ

$\Delta \subset \Sigma$

M

$M$

M_{Δ}

$M_{\Delta}$

M

$M$

Δ

$\Delta$
La preuve fonctionne en considérant l'ensemble

de DFA

sur l' alphabet à

lettres

défini par

S_{k, n}

$S_{k,n}$

M

$M$

k

$k$

{0, 1, \dots, k - 1}

$\{0,1,\dots,k-1 \}$

Soit l'un des DFA unaires différents sur états, et $M_{ \{0 \}}$ $f_1(n)$ $n$
$k-1$ $h_i : Q \to Q$ $1 \le i < k$ $\delta(q,i) = h_i(q)$ $1 \le i < k$ $q \in Q$

$S_{n,k}$ $f_1(n) n^{ (k-1)n}$

Dénombrement des NFA

$G_1(n)$ $2^n$ $\epsilon, a,\dots, a^{n-1}$ $n$
$G_1(n) \le \left( \frac{c_1 n}{\log n}\right)^n$
$k \ge 2$

n 2^{(k - 1) n^{2}} \leq G_{k} (n) \leq (2 n - 1) 2^{k n^{2}} + 1.

$\begin{equation*} n 2^{(k-1)n^2} \le G_k(n) \le (2n-1) 2^{kn^2} +1. \end{equation*}$

(q, a)

$(q,a)$

Q

$Q$

δ (q, a)

$\delta(q,a)$

2^{k n^{2}}

$2^{kn^2}$

{1, \dots, k}

$\{1,\dots,k\}$

k \in [0.. n - 1]

$k \in [0..n-1]$

M = (Q, Σ, δ, q_{0}, F)

$M=(Q,\Sigma,\delta,q_0, F)$

Σ = {0, 1, \dots, k - 1}

$\Sigma = \{ 0,1,\dots,k-1 \}$

Q = {q_{0}, \dots, q_{n - 1}}

$Q=\{ q_0,\dots, q_{n-1} \}$

δ

$\delta$

\begin{aligned} δ (q_{i}, 0) & = q_{(i + 1) \mod n} for 0 \leq i < n \\ δ (q_{i}, j) & = h_{j} (i) for 0 \leq i < n, 1 \leq j < k \end{aligned}

$\begin{align*} \delta(q_i,0) &=q_{(i+1) \mod n} \quad \text{for } 0 \le i <n \\ \delta(q_i,j) &=h_j(i) \quad \text{for } 0 \le i <n,\, 1 \le j < k \end{align*}$

h_{j} : {1, \dots, n - 1} \to 2^{Q}

$h_j: \{ 1,\dots,n-1\} \to 2^Q$

F = {q_{i}}

$F=\{q_i\}$

i \in [0.. n - 1]

$i \in [0..n-1]$

2^{(k - 1) n^{2}}

$2^{(k-1)n^2}$

n

$n$ façons de choisir l'ensemble des états finaux. On peut alors montrer que deux de ces NFA n'acceptent pas la même langue.

— john_leo
source