Les circuits de profondeur 2 avec portes OR et MOD ne sont pas universels?

Il est bien connu que chaque fonction booléenne peut être réalisée en utilisant un circuit booléen de profondeur 2 (sur les variables, leur négation et leurs valeurs constantes) contenant des portes ET au premier niveau et une seule porte OU au niveau supérieur; c'est simplement la représentation DNF de . $f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}$ $f$

Un autre type de porte qui présente un grand intérêt pour la complexité du circuit est la porte . La définition habituelle est la suivante: $MOD_m$

{M O D}_{m} (x_{1}, \dots, x_{k}) = {\begin{cases} 1 & if \sum x_{i} \equiv 0 \mod m \\ 0 & if \sum x_{i} ≢ 0 \mod m \end{cases}

$\mathrm{MOD}_m(x_1,\dots,x_k)=\cases{ 1 & if $\sum x_i \equiv 0 \mod m$ \\ 0 & if $\sum x_i \not\equiv 0 \mod m$ \\ }$

Ces portes ont parfois un pouvoir surprenant; par exemple, toute fonction booléenne peut être représentée par un circuit de profondeur 2 ayant seulement des portes $\mathrm{MOD}_6$ (c'est du folklore mais je peux élaborer si quelqu'un est intéressé).

Cependant, un autre folklore est que les circuits avec une seule porte OU en haut et des portes $\mathrm{MOD}_m$ dans la couche inférieure (avec $m$ étant fixé une fois pour toutes, et en particulier étant le même pour toutes les portes) ne sont pas universel, c'est-à-dire que pour toute valeur de $m$ , il existe des fonctions booléennes qui ne peuvent pas être calculées par le circuit $\mathrm{OR} \circ \mathrm{MOD}_m$ .

Je cherche une preuve pour cette affirmation, ou au moins une direction.

complexity-theory logic circuits

— Gadi A
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Dans le premier paragraphe, soit vous n'avez PAS besoin de portes, soit vous devez dire «toutes les fonctions booléennes monotones ».

— Tsuyoshi Ito

Vous avez raison; l'hypothèse habituelle est que vous avez en entrée les variables, leur négation et aussi des valeurs arbitraires (importantes pour les modgates). Je vais écrire cela explicitement.

— Gadi A

Je suppose que , le nombre de variables d'entrée, est différent de , le module?

n

$n$

n

$n$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

Oui, désolé.

— Gadi A

Cela m'intéresse. Connaissez-vous une référence pour le premier fait folklorique? Je me demande, si dans la dernière classe de circuits vous autorisez seulement un OU, combien autorisez-vous dans le premier?

— Juan Bermejo Vega

La fonction booléenne AND ne peut pas être calculée. Supposons en fait que la fonction ET soit calculée par un circuit . Il s'ensuit alors que l'un des sous-circuits MOD doit déjà calculer ET fonctionne déjà, ce qui est impossible. $\text{OR} \circ \text{MOD}$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
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Non, il a raison. L'hypothèse implicite ici est que n est constant et nous devrions être capables de gérer un nombre arbitrairement élevé d'entrées avec des portes mod_n.

— Gadi A

@GadiA Ah, ok. Ce n'était pas clair dans votre question, du moins pour les personnes qui ne connaissent pas le domaine. J'ai fait une modification mineure qui devrait clarifier cela.

— Gilles 'SO- arrête d'être méchant'

Oui, ma question était très mal formulée, désolé.

— Gadi A

@Gilles Pouvez-vous m'expliquer quel fan-in ici nous considérons? Le problème pour moi est que je ne vois pas pourquoi le sous-circuit de MOD ne peut pas calculer ET? Combien d'entrées a ce MOD et ce ET?