MIN-2-XOR-SAT et MAX-2-XOR-SAT: sont-ils NP-durs?


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Quelle est la complexité de MIN-2-XOR-SAT et MAX-2-XOR-SAT ? Sont-ils en P? Sont-ils durs en NP?

Pour formaliser cela plus précisément,

Φ(X)=jenCje,

X=(X1,,Xm) et chaque clause Cje est de la forme (XjeXj) ou (Xje¬Xj) .

Le problème 2-XOR-SAT est de trouver une affectation à X qui satisfait Φ . Ce problème est en P , car il correspond à un système d'équations linéaires mod 2 .

Le problème MAX-2-XOR-SAT est de trouver une affectation à X qui maximise le nombre de clauses satisfaites. Le problème MIN-2-XOR-SAT est de trouver une affectation à X qui minimise le nombre de clauses qui sont satisfaites. Quelles sont les complexités de ces problèmes?

Inspiré par MIN ou MAX-True-2-XOR-SAT NP-hard?

Réponses:


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Désolé d'avoir répondu à un ancien message

Le problème de déterminer si une instance MONOTONE-2-XOR-SAT (toutes les clauses sont du type ) est satisfaisable peut être réduit au problème de déterminer si un graphe est bipartite, voir ceci .(XjeXj)

Pour ce faire, nous créons un graphe avec un nœud pour chaque littéral de la formule et nous connectons chaque littéral à un autre s'ils sont dans la même clause (les bords sont des clauses)g

Par exemple:

Si nous avons une formule insatisfaisante qui est (X1X2)(X1X3)(X2X3)(X1X4)

Nous avons un graphique comme celui-ci:

grafo no bipartito

ce n'est pas bipartite

Il y a trois clauses qui sont satisfaisables et nous devons donc simplement éliminer un bord

Maintenant, nous pouvons réduire le problème de déterminer si nous pouvons trouver un sous-graphe bipartite maximum avec sommet au problème de déterminer si nous pouvons satisfaire les clauses k dans une formule MONOTONE-MAX-2XOR-SAT, voir ceci . Et le problème de sous-graphique bipartite maximal est équivalent à la coupe maximalekk

Pour faire la réduction, nous créons simplement un nouveau littéral pour chaque sommet et nous créons une clause pour chaque arête reliant deux littéraux

Par exemple:

Nous avons ce graphique,

grafo no bipartito 2

(X1X2)(X1X4)(X2X4)(X2X3)(X4X5)(X3X5)

kk


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Vous devriez rendre l'implication explicite: comme MAX-CUT est NP-Hard, la réduction à MAX-XORSAT signifie qu'il est également NP-Hard.
Antimony

-1

(XjeXj)XjeXjeXjXjeXjXjeXj est vrai si les sommets correspondants ont reçu des couleurs différentes dans le graphique.

Si tous les sommets du graphique peuvent être colorés en utilisant 2 couleurs et qu'aucun des deux sommets avec une part de bord commune n'est affecté de la même couleur, alors l'équation est satisfaisable.

Mais un graphe est bicolore ssi c'est un graphe bipartite. Et déterminer si un graphe est bipartite peut être fait en temps polynomial. Par conséquent, le problème est en P, car si nous pouvons déterminer en temps polynomial que le graphe est un graphe bipartite, il est résoluble, sinon il n'est pas résoluble.


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(XjeXj)(Xk¬Xl)k,l(Xk¬Xl)

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Cela m'amène à un problème plus grave avec votre réponse. Le problème n'est pas de déterminer si la formule est satisfaisable; le problème est d'identifier une affectation qui satisfait le nombre maximum / minimum de clauses. Votre algorithme teste uniquement si la formule est satisfaisable. Ainsi, il résout 2-XOR-SAT, mais il ne résout pas MIN-2-XOR-SAT ou MAX-2-XOR-SAT - mais je savais déjà que 2-XOR-SAT est en P, comme expliqué dans la question. Ai-je mal compris quelque chose?
DW

XjeXk

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Mais je ne vois toujours pas comment cela répond à mon deuxième commentaire. Vous avez résolu un cas particulier d'un problème que je ne demandais pas. Bref, cette réponse ne répond pas à la question que j'ai posée.
DW
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