Prouver l'exhaustivité de NP pour décider de la satisfiabilité de la formule booléenne monotone

J'essaie de résoudre ce problème et j'ai vraiment du mal.

Une formule booléenne monotone est une formule en logique propositionnelle où tous les littéraux sont positifs. Par exemple,

$\qquad (x_1 \lor x_2) \land (x_1 \lor x_3) \land (x_3 \lor x_4 \lor x_5)$

est une fonction booléenne monotone. D'un autre côté, quelque chose comme

$\qquad (x_1 \lor x_2 \lor x_3) \land (\neg x_1 \lor x_3) \land (\neg x_1 \lor x_5)$

n'est pas une fonction booléenne monotone.

Comment puis-je prouver l'exhaustivité de NP pour ce problème:

Déterminer si une fonction booléenne monotone est satisfaisable si variables ou moins sont définies sur ? $k$ $1$

De toute évidence, toutes les variables pourraient simplement être définies pour être positives, et c'est trivial, c'est pourquoi il y a la restriction de variables définies positivement. $k$

J'ai essayé une réduction de SAT à la formule booléenne monotone. J'ai essayé de substituer une variable fictive à chaque littéral négatif. Par exemple, j'ai essayé de remplacer par , puis j'ai essayé de forcer et à des valeurs différentes. Je n'ai pas encore réussi à faire fonctionner cela. $\neg x_1$ $z_1$ $x_1$ $z_1$

complexity-theory np-complete satisfiability

— nat
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Bienvenue! Veuillez faire plus attention à la langue et au formatage.

— Raphael

Réponses:

Le «parent» du problème que vous regardez est parfois appelé Satisfaction pondérée (WSAT, en particulier dans la complexité paramétrée) ou Min-Ones (bien qu'il s'agisse normalement d'une version d'optimisation, mais assez proche). Ces problèmes ont la restriction «au plus variables définies sur vrai» comme caractéristique de définition. $k$

La restriction aux formules monotones est en fait étonnamment facile à montrer la dureté, vous avez juste besoin de sortir des problèmes de satisfiabilité pendant un moment. Au lieu d'essayer de modifier une instance SAT, nous commençons plutôt par Dominating Set (DS).

Voyez si vous pouvez l'obtenir à partir de là. Il y a plus dans les spoilers, brisés en morceaux, mais évitez-les si vous le pouvez. Je ne montrerai pas l'appartenance à NP, vous ne devriez avoir aucun problème avec cela.

$(G, k)$ $k$ $G$ $(\phi,k)$ $\phi$

La construction de base:

$v\in V(G)$ $v' \in \text{var}(\phi)$ $v \in V(G)$ $c_{v} = \bigvee_{u\in N(v)} u'$

Un croquis de la preuve:

$k$ $k$ $\phi$ $k$ $c_{v}$ $v$

— Luke Mathieson
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Wow cela a tellement plus de sens, merci! Je pense que j'ai été définitivement pris dans la tentative de réduire le SAT à la formule booléenne monotone.

— nat

Je constate également que nous pouvons également réduire la couverture des sommets jusqu'à la formule booléenne monotone.

— nat

k

$k$

Je pense qu'exactement la même approche fonctionne avec la couverture des verticules.

— Haskell Fun

@HaskellFun, j'y ai pensé aussi. Le couvercle du sommet est le même que le Min-W2SAT monotone.

— rus9384

$z_i$ $\neg x_i$ $\phi$ $\phi'$ $\neg x_i$ $z_i$ $x_i \vee z_i$ $k$ $\phi'$ $\phi$ $k$ $x_i \vee z_i$ $\phi'$ $k$ $k$

— David
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