Pouvons-nous générer des nombres aléatoires en utilisant des nombres irrationnels comme π et e?

Les nombres irrationnels comme , et ont une séquence unique et non répétitive après le point décimal. Si l' on extrait le chiffres -ème de ces chiffres (où est le nombre de fois que la méthode est appelée) et faire un numéro avec les chiffres comme il est, devrions - nous pas un générateur de nombres aléatoires parfait? Par exemple, si nous utilisons , et , le premier nombre est 123, le second 471, le suivant 184 et ainsi de suite.$\pi$$e$$\sqrt{2}$$n$$n$$\sqrt{2}$$e$$\pi$

L'inconvénient le plus évident est la complexité inutile des algorithmes PRNG basés sur des nombres irrationnels. Ils nécessitent beaucoup plus de calculs par chiffre généré que, par exemple, un LCG; et cette complexité augmente généralement à mesure que vous avancez dans la séquence. Le calcul de 256 bits de π au deux quadrillionième bit a pris 23 jours sur 1000 ordinateurs (en 2010) - une complexité plutôt prohibitive pour un RNG.

Pour toute définition raisonnable de parfait, le mécanisme que vous décrivez n'est pas un générateur de nombres aléatoires parfait.

• La non-répétition ne suffit pas. Le nombre décimal $0.101001000100001\dots$ est non répétitif mais c'est un terrible générateur de chiffres aléatoires, puisque la réponse est «toujours» zéro, parfois un, et jamais rien d'autre.

• Nous ne savons pas vraiment si chaque chiffre se produit également souvent dans l'expansion décimale de $\pi$ ou  $\mathrm{e}$ (bien que nous soupçonnons qu'ils le font).

• Dans de nombreuses situations, nous exigeons que les nombres aléatoires soient imprévisibles (en effet, si vous demandiez à une personne au hasard ce que signifie "aléatoire", elle dirait probablement quelque chose sur l'imprévisibilité). Les chiffres des constantes bien connues sont totalement prévisibles.

• Nous voulons généralement générer des nombres aléatoires assez rapidement, mais générer des chiffres successifs de constantes mathématiques a tendance à être assez coûteux.

• Il est cependant vrai que les chiffres de $\pi$ et  $\mathrm{e}$ semblent statistiquement aléatoires, en ce sens que chaque séquence de chiffres possible semble se produire aussi souvent qu'elle le devrait. Ainsi, par exemple, chaque chiffre se produit très près d'une fois sur dix; chaque séquence à deux chiffres très proche d'un sur cent, et ainsi de suite.

Il est cryptographiquement inutile car un adversaire peut prédire chaque chiffre. Cela prend également beaucoup de temps.

( mis à jour après que de nombreuses personnes ont souligné que le générateur de nombres aléatoires n'est pas la même chose qu'une seule séquence normale)

Si vous demandez si vous pouvez obtenir une séquence normale de $\pi$ (c'est-à-dire que tous les nombres apparaissent uniformément), alors il y a plusieurs réponses sur mathoverflow. Par exemple, la réponse sur la distribution des chiffres de Pi dit:

... on pense que $\pi$ est un nombre normal (~ distribution uniforme de chaque séquence de chiffres).

Pour les données de distribution des chiffres, voir par exemple http://www.eveandersson.com/pi/precalculated-frequencies ou https://thestarman.pcministry.com/math/pi/RandPI.html (1000 premiers chiffres):

Chez mathoverflow, il y a aussi de belles réponses à:

• Quel est l'état de notre ignorance de la normalité de pi?
• Pi contient-il 1000 zéros consécutifs?

En général, cette approche ne fonctionne pas: "aléatoire" ne signifie pas que vous obtenez beaucoup de chiffres différents, mais il y a aussi d'autres aspects. Par exemple, un test classique consiste à voir si toutes les combinaisons à deux ou trois chiffres, etc. se produisent avec la même fréquence. Ce serait un test très simple, qui peut exclure des résultats non aléatoires évidents, mais est encore beaucoup trop simpliste pour vérifier un comportement vraiment aléatoire.

Voir la page Wikipedia sur les tests de hasard comme une collection de liens vers des sources principales à ce sujet. Ils mentionnent une bonne quantité de concepts à consonance assez compliquée; il n'est pas si important d'entrer dans les détails à ce sujet - mais il est clair qu'il n'est pas intuitivement possible de déclarer un numéro spécifique comme une bonne source pour de tels chiffres.

Sur une note positive: pour un numéro irrationnel spécifique, vous êtes bien sûr libre de simplement l'essayer; c'est-à-dire, calculer le nombre à un degré suffisamment élevé de chiffres, et l'exécuter à travers tous les tests connus (il existe des outils pour cela, voir le lien ci-dessus). Si la mesure est assez bonne pour votre cas d'utilisation, et si vous êtes conscient que cela est évidemment inutile pour les applications cryptographiques, et obtenez toujours les mêmes chiffres si vous recommencez, et que la qualité peut se dégrader si vous dépassez ce que vous navez choisi pour tester le caractère aléatoire, vous pouvez utiliser ces chiffres. Mais il vaudra beaucoup mieux utiliser un générateur de nombres (pseudo-) aléatoires dédié; et rien ne vaut une bonne source physique de hasard.

Il fournit un bon nombre aléatoire jusqu'à ce que vous réalisiez comment il a été produit, comme avec de nombreux nombres pseudo-aléatoires. Les nombres irrationnels (non algébriques et non transcendantaux) que vous avez choisis sont communs et donc plus faciles à deviner que les autres. Je ne vois aucun problème avec cette méthode à condition de choisir des générateurs moins courants.