Étant donné une constante k, trouver le plus grand arbre enraciné possible, si pour chaque chemin de la racine à la feuille, la somme de l'arité de ses nœuds est égale à k?

A titre d'exemple, voici tous les arbres possibles pour le cas $k=3$: Sur chaque nœud est écrit son arité (= le nombre d'enfants).

Bien que cela devrait être résolu par la programmation dynamique, je pense qu'il y a eu un résultat combinatoire à ce sujet (soit une limite supérieure exacte ou plutôt à grain fin). Quelqu'un le sait-il?

Éditer:

La taille de l'arbre est le nombre de nœuds qu'il possède, donc le plus grand arbre serait celui avec le nombre maximal de nœuds.

Laisser $B(n)$ être la taille du plus grand arbre, où les arités de chaque chemin, de la racine à la feuille, $n$.

Si la racine d'un tel arbre a de l'arité $k$, puis les chemins pour chacun des $k$ les sous-arbres doivent correspondre à $n-k$. Comme les sous-arbres doivent être optimaux, l'arbre a une taille$1+k\cdot B(n-k)$.

Une formule pour $B(n)$ maximise simplement cette expression sur $k$, en utilisant les valeurs précédentes $B(n-1), B(n-2),\dots$.

J'ai essayé de le faire à la main et j'ai trouvé (avec l'aide de @Sudix, merci) $1,2,3,5,7,11,16,23,34,\dots$. Cela semble être A239288 dans l'encyclopédie Sloanes en ligne des séquences entières. La récursivité qui y est donnée est similaire, mais pas exactement la même.

L'explication de la séquence y est: "Somme maximale de x0 + x0 * x1 + ... + x0 * x1 * ... * xk sur toutes les compositions x0 + ... + xk = n". Il s'agit en effet de la même séquence: si la séquence d'arités le long du chemin depuis la racine est x0, x1, ..., xk, celles-ci doivent être égales à n, et le nombre de nœuds est en effet la formule donnée.

Une autre remarque chez Sloane est intéressante: "Pour n> = 8 la solution devient cyclique: a (3n + k) = 3 + 3a (3n - 3 + k)". Cela semble suggérer que pour des valeurs supérieures à 24, la racine de l'arbre a toujours trois enfants.