L'application d'ARMA-GARCH nécessite-t-elle une stationnarité?

Je vais utiliser le modèle ARMA-GARCH pour les séries temporelles financières et je me demandais si la série devait être stationnaire avant d'appliquer ledit modèle. Je sais que pour appliquer le modèle ARMA, la série doit être stationnaire, mais je ne suis pas sûr pour ARMA-GARCH car j'inclus les erreurs GARCH qui impliquent un cluster de volatilité et une variance non constante et donc des séries non stationnaires, quelle que soit la transformation que je fais .

Les séries chronologiques financières sont-elles généralement stationnaires ou non stationnaires? J'ai essayé d'appliquer le test ADF à quelques séries volatiles et j'ai obtenu une valeur de p <0,01 qui semble indiquer la stationnarité mais le principe de la série volatile elle-même nous dit que la série n'est pas stationnaire.

Quelqu'un peut-il clarifier cela pour moi? Je suis vraiment confus

Copie de l'abstrait de l'article original d' Engle :
"Il s'agit de processus à zéro moyen, non corrélés en série avec des variances non constantes conditionnées par le passé, mais des variances inconditionnelles constantes. Pour de tels processus, le passé récent donne des informations sur la variance prévisionnelle sur une période".

Poursuivant avec les références, comme le montre l'auteur qui a introduit GARCH (Bollerslev, Tim (1986). " Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity ", Journal of Econometrics, 31: 307-327) pour le processus GARCH (1,1), il suffit que pour la stationnarité de second ordre.$\alpha_1 + \beta_1 <1$

La stationnarité (celle nécessaire aux procédures d'estimation) est définie par rapport à la distribution et aux moments inconditionnels .

ADDENDA
Pour résumer ici la discussion dans les commentaires, l'approche de modélisation GARCH est un moyen ingénieux de modéliser l'hétéroscédasticité présumée dans le temps, c'est-à-dire d'une certaine forme d' hétérogénéité du processus (qui rendrait le processus non stationnaire) comme une caractéristique observée qui provient de l'existence de la mémoire du processus, induisant essentiellement la stationnarité au niveau inconditionnel.

En d'autres termes, nous avons pris nos deux «grands adversaires» dans l'analyse des processus stochastiques (hétérogénéité et mémoire), et utilisé l'un pour neutraliser l'autre - et c'est en effet une stratégie inspirée.

Oui, la série doit être stationnaire. Les modèles GARCH sont en fait des processus de bruit blanc avec une structure de dépendance non triviale. Le modèle GARCH (1,1) classique est défini comme

avec

où sont des variables normales standard indépendantes avec variance unitaire.$\varepsilon_t$

alors

et

$h>0$$r_t$$r_t^2$$ARMA(1,1)$

Pour tous ceux qui se posent encore des questions sur cette question, je vais clarifier - le clustering de volatilité n'implique pas du tout que la série n'est pas stationnaire. Cela suggérerait qu'il existe un régime de variance conditionnelle variable - qui peut encore satisfaire la constance de la distribution inconditionnelle.

Le modèle GARCH (1,1) de Bollerslev n'est pas faiblement stationnaire lorsque $\alpha_{1}+\beta>1$, mais il est en fait encore fermement stationnaire pour une gamme beaucoup plus large, Nelson 1990. De plus, Rahbek et Jensen 2004 (inférence asymptotique dans le GARCH non stationnaire) ont montré que l'estimateur ML de $\alpha_{1}$ et $\beta$ is consistent and asymptotically normal for any parameter specification that ensure the model is non-stationary. Combining this with the results of Nelson 1990 (all weak or strict stationary GARCH(1,1) models have MLE estimator as consistent and asymptotically normal), suggests that any parameter combination whatsoever of $\alpha_{1}$ and $\beta>1$ will have consistent and Asymptotically normal estimators.

It is important to note however that if the GARCH(1,1) model is non stationary, the constant term in the conditional variance is not estimated consistently.

Regardless, this suggests that you do not have to worry about stationarity before estimating the GARCH model. You do however have to wonder whether it seems to have a symmetric distribution, and whether the series has high persistence, as this is not allowed in the classical GARCH(1,1) model. When you have estimated the model it is of interest to test whether $\alpha_{1}+\beta=1$ if you are working with financial timeseries, since this would imply a trending conditional variance which is hard to immagine being a behavioral tendency amongst investors. Testing this however can be done with a normal LR test.

La stationnarité est assez mal comprise et n'est que partiellement liée au fait que la variance ou la moyenne semble changer de manière ocationnelle - car cela peut encore se produire tandis que le processus maintient une distribution inconditionnelle constante. La raison pour laquelle vous pensez peut-être que les changements apparents de variance peuvent entraîner une dérogation à la stationnarité, c'est qu'une chose telle qu'un changement de niveau permanent dans l'équation de la variance (ou l'équation moyenne), par définition, briserait la stationnarité. Mais si les changements sont causés par la spécification dynamique du modèle, il peut rester stationnaire même si la moyenne est impossible à identifier et la volatilité change constamment. Un autre bel exemple de cela est le modèle DAR (1,1) introduit par Ling en 2002.

Stationarity is a theoretical concept which is then modified to other forms like Weak Sense Stationarity which can be tested easily. Most of the tests like adf test as you have mentioned test for linear conditions only. the ARCH effects are made for series which do not have autocorrelation in the first order but there is dependence in the squared series.

The ARMA-GARCH process you talk about, here the second order dependence is removed using the GARCH part and then any dependence in the linear terms is captured by the ARMA process.

The way to go about is to check for the autocorrelation of the squared series, if there is dependence, then apply the GARCH models and check the residuals for any linear time series properties which can then be modelled using ARMA processes.