Notation en indice dans les attentes

Quelle est la signification exacte de la notation en indice dans les anticipations conditionnelles dans le cadre de la théorie des mesures? Ces indices n'apparaissent pas dans la définition de l'espérance conditionnelle, mais nous pouvons le voir par exemple sur cette page de wikipedia . (Notez que ce n'était pas toujours le cas, la même page il y a quelques mois). $\mathbb{E}_X[f(X)]$

Quelle devrait être par exemple la signification de avec et ? $\mathbb{E}_X[X+Y]$ $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ $Y=X+1$

conditional-expectation notation

— Emile
source

Nul doute que quelqu'un ajoutera des définitions formelles, de manière informelle, toutes les attentes sont des attentes concernant la distribution de (/ attentes par rapport à) une variable aléatoire (éventuellement multivariée), si elle a été explicitement spécifiée ou laissée implicite. Dans de nombreux cas, c'est évident ( implique plutôt que ). D'autres fois, il faut distinguer; considérons la loi de la variance totale par exemple: .

E (X)

$\text{E}(X)$

E_{X} (X)

$\text{E}_X(X)$

E_{W} (X)

$\text{E}_W(X)$

Var [Y] = E_{X} [Var [Y ∣ X]] + {Var}_{X} [E [Y ∣ X]]

$\text{Var}[Y] = \text{E}_X\left[\text{Var}[Y\mid X]\right] + \text{Var}_X\left[\text{E}[Y\mid X]\right]$

— Glen_b

@Glen_b Est-il vraiment nécessaire de spécifier dans la loi de la variance totale? Comme , pour certains , n'est-il pas clair que est supérieur à ?

E [Y | X] = f (X)

$E[Y|X]=f(X)$

f

$f$

Var [E [Y | X]]

$\text{Var}[E[Y|X]]$

X

$X$

— Thomas Ahle

@ThomasAhle Vous avez tout à fait raison - "nécessaire" était un mot trop fort pour cet exemple. Bien que, à proprement parler, cela devrait être clair, les lecteurs qui ne sont pas habitués à travailler avec lui sont souvent déconcertés. Il est donc courant, plutôt que nécessaire, d’être explicite à ce sujet. Il y a des expressions qui impliquent des attentes et pour lesquelles vous ne pouvez pas être sûr sans préciser, mais ce n'est pas vraiment

— ça

Dans une expression où plusieurs variables aléatoires sont impliquées, le symbole seul ne précise pas quelle variable aléatoire correspond à la valeur attendue "prise". Par exemple $E$

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E[h(X,Y)] =\text{?} \int_{-\infty}^{\infty} h(x,y) f_X(x)\,dx$ ou

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{Y} (y) d y

$E[h(X,Y)] = \text{?} \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_Y(y)\,dy$

Ni l'un ni l'autre . Lorsque plusieurs variables aléatoires sont impliquées et qu'il n'y a pas d'indice dans le symbole , la valeur attendue est prise en ce qui concerne leur distribution conjointe: $E$

E [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y

$E[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{XY}(x,y) \, dx \, dy$

Quand un indice est présent ... dans certains cas, il nous indique sur quelle variable nous devrions conditionner . Alors

E_{X} [h (X, Y)] = E [h (X, Y) ∣ X] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{h (X, Y) ∣ X} (h (x, y) ∣ x) d h

$E_X[h(X,Y)] = E[h(X,Y)\mid X] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{h(X,Y)\mid X}(h(x,y)\mid x)\,dh$

... Mais dans d'autres cas, il nous indique quelle densité utiliser pour le "moyennage"

E_{X} [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E_X[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{X}(x) \, dx$

Plutôt déroutant, dirais-je, mais qui a dit que la notation scientifique est totalement exempte d'ambiguïté ou d'utilisation multiple? Vous devriez regarder comment chaque auteur définit l'utilisation de tels symboles.

— Alecos Papadopoulos
source

J'ai deux questions. 1) Je ne sais pas si je comprends bien, puis-je interpréter l'attente comme l'une des deux premières équations, si X ou Y a été corrigé? 2) Pouvez-vous donner un exemple pour QE 4 et QE 5? J'ai du mal à les interpréter et je pense que des exemples concrets pourraient aider. Merci!

— chat de plafond

@ceiling cat 1) est correct , car essentiellement vous ne pas avoir deux variables aléatoires plus. De même pour la fixation de sur .

E [h (X, \bar{y})] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, \bar{y}) f_{X} (x) d x

$E[h(X,\bar y)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x,\bar y) f_X(x)dx$

X

$X$

\bar{x}

$\bar x$

— Alecos Papadopoulos

@ceiling cat 2) -EQ5: Considérons . est une variable aléatoire bien (pour un support approprié). Puis, en utilisant la signification spécifique pour la notation , où est la densité de (quoi que ce soit). De toute évidence, n'est pas intégré et il restera intact. Mais le résultat obtenu sera gagné ' t être un nombre (comme dans mon commentaire précédent), mais une variable aléatoire (une fonction de ), puisque n’est pas fixe, mais n’est pas intégré en sortie

Z = X^{2} (Y - (Y + 2)^{3}) = h (X, Y)

$Z = X^2(Y-(Y+2)^3) = h(X,Y)$

Z

$Z$

E_{X} (Z) = E_{X} [(h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} (y - (y + 2)^{2}) f_{X} (x) d x

$E_X(Z)=E_X[(h(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2(y-(y+2)^2) f_{X}(x)dx$

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

X

$X$

Y

$Y$

Y

$Y$

Y

$Y$

— Alecos Papadopoulos

@ceiling cat Dans les deux cas, dans mes deux commentaires précédents, la "mécanique" des calculs mathématiques sera la même. Les résultats finaux ont cependant des interprétations différentes.

— Alecos Papadopoulos

@ceiling cat 2) -EQ4: Considérez la même variable aléatoire . Sa valeur attendue conditionnée par est (en utilisant l’autre signification pour la notation abrégée) . Notez qu'ici les et les n'apparaissent pas directement dans l'intégrale - ils sont "condensés" dans le symbole .

Z

$Z$

X

$X$

E_{X} [Z] = E (Z ∣ X) = \int_{- \infty}^{\infty} z f_{Z | X} (z ∣ x) d z

$E_X[Z] = E(Z\mid X) = \int_{-\infty}^{\infty} z f_{Z|X}(z\mid x)dz$

x

$x$

y

$y$

z

$z$

— Alecos Papadopoulos