La somme de deux produits normaux est Laplace?

Il semble que si $X_i \sim N(0,1)$ , alors

$X_1 X_2 + X_3 X_4 \sim \mathrm{Laplace(0,1)}$

J'ai vu des articles sur les formes quadratiques arbitraires, ce qui se traduit toujours par des expressions chi-carré non centrales horribles.

La relation simple ci-dessus ne me semble pas du tout évidente, alors (si c'est vrai!) Quelqu'un a-t-il une simple preuve de ce qui précède?

— Corone
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Une séquence élémentaire d'étapes utilisant des relations bien connues entre les distributions et une identité de polarisation algébrique simple fournit une démonstration élémentaire et intuitive.

J'ai trouvé cette identité de polarisation généralement utile pour raisonner et calculer avec des produits de variables aléatoires, car elle les réduit à des combinaisons linéaires de carrés. C'est un peu comme travailler avec des matrices en les diagonalisant d'abord. (Il y a plus qu'une connexion superficielle ici.)

Une distribution de Laplace est une différence de deux exponentielles (ce qui est intuitivement logique, car une exponentielle est une distribution "à moitié Laplace"). (Le lien le démontre en manipulant des fonctions caractéristiques, mais la relation peut être prouvée à l'aide d'une intégration élémentaire issue de la définition d'une différence comme convolution.)

$\Gamma(1)$ $\chi^2(2)$ $1/2$

$\chi^2$ $2$

La relation algébrique

X_{1} X_{2} + X_{3} X_{4} = [{(\frac{X_{1} + X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} + X_{4}}{2})}^{2}] - [{(\frac{X_{1} - X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} - X_{4}}{2})}^{2}]

$X_1X_2 + X_3X_4 = \left[\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3+X_4}{2}\right)^2\right] - \left[\left(\frac{X_1-X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3-X_4}{2}\right)^2\right]$

$X_1X_2 + X_3X_4$ $(0,\sqrt{1/2})$ $\chi^2(2)$ $\sqrt{1/2}\ ^2=1/2$

$X_1X_2+X_3X_4$

— whuber
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C'est absolument délicieux!

— Corone

Je viens de remarquer qu'une autre réponse, basée sur des fonctions de génération de moment, apparaît sur stats.stackexchange.com/a/51717/919 : voir le paragraphe au milieu commençant "accessoirement" (un autre nom pour la distribution de Laplace est "bi-exponentiel" ). Ce fil concerne le MGF d'une généralisation de la présente question.

— whuber

Belle dérivation, mais comment savez-vous que la différence de deux variables distribuées exponentielles indépendantes a une distribution laplacienne?

— HelloGoodbye

@ Bonjour Veuillez suivre le lien: il va à un article Wikipedia qui comprend une brève démonstration.

— whuber

$X\sim \mathrm{Laplace}(0,1)$

ϕ_{X} (t) = \frac{1}{1 + t^{2}}

$\phi_X(t) = \frac{1}{1+t^2}$

— Michael M
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