Écart du rendement annuel en fonction de l'écart du rendement mensuel

J'essaie de comprendre toute la variance / erreur std d'une série chronologique de rendements financiers, et je pense que je suis coincé. J'ai une série de données mensuelles sur le retour des actions (appelons-le ), qui a une valeur attendue de 1,00795 et une variance de 0,000228 (l'écart-type est de 0,01512). J'essaie de calculer le pire cas du rendement annuel (disons la valeur attendue moins le double de l'erreur standard). Quelle est la meilleure façon de le faire? A . Calculez-le pour un seul mois ( ) et multipliez-le par lui-même 12 fois (= 0,7630 ). B . En supposant que les mois sont indépendants, définissez 12 fois, trouvez sa valeur attendue$X$

$\mu_X-2\cdot \sigma_X=0.977$

$Y=X\cdot X\cdot ...\cdot X$$E[Y]=(E[X])^{12}$) et la variance . Le dév standard dans ce cas est 0,0572, et la valeur attendue moins deux fois le dev standard est 0,9853 . C. Multipliez le dev standard mensuel avec pour obtenir le annuel. Utilisez-le pour trouver le pire des cas annuel ( ). Il s'agit de 0.9949 . Laquelle est correcte? Quelle est la bonne façon de calculer la valeur annuelle attendue moins le double du std. dev si vous ne connaissez ces propriétés que pour les données mensuelles ? (En général - si 12 fois et ,$\operatorname{var}[Y]=(\operatorname{var}[X]+(E[X])^2)^{12} - ((E[X]^2)^{12}$

$\sqrt{12}$$\mu - 2\cdot \sigma$

$Y=X\cdot X\cdot ...\cdot X$$\mu_X$$\sigma_X$sont connus, qu'est-ce que ?)$\mu_Y-2\cdot \sigma_Y$

Si vous définissez le rendement proportionnel comme , où est le prix, il n'est pas rare avec des rendements quotidiens de simplement multiplier le rendement proportionnel par (nombre de travail jours dans l'année) et l'écart type de pour les annualiser. Cela correspond à votre cas C . Le point ici est de redimensionner afin qu'un rapport annuel significatif puisse être rapporté à partir des chiffres quotidiens (mais vous ne l'utiliseriez pas pour comparer rigoureusement les mesures dérivées du quotidien avec celles dérivées du mensuel). En général, vous feriez tous vos calculs et prendriez toutes vos décisions à la fréquence à laquelle vous avez collecté vos données (mensuellement dans votre cas).$\Delta P/P = (P_{t+1}-P_t)/P_t$$P$$250$$\sqrt{250}$

L'approche théoriquement correcte consiste à utiliser log renvoie = (en utilisant des journaux naturels). La formule pour l'espérance d'une somme de variables aléatoires peut alors être utilisée correctement, car la somme des retours de log est le log du produit des retours.$\log(P_{t+1}/P_t)$

De plus, si vous utilisez des retours de journaux, le théorème de limite centrale donne une justification théorique que les retours de journaux sont normalement distribués (essentiellement le théorème de limite centrale dit que la somme des variables indépendantes tend vers une distribution normale à mesure que le nombre de variables aléatoires dans la somme augmente. ). Cela vous permet d'attribuer une probabilité de voir un retour inférieur à (la probabilité est donnée par la fonction de distribution cumulative pour la distribution normale: . Si les retours de log sont normalement distribués, alors nous disons que les retours sont distribués lognormalement - c'est l'une des hypothèses utilisées pour dériver la célèbre formule de tarification de l'option Black Scholes.$\mu - 2\sigma$$\Phi(-2) \simeq 0.023)$

Une chose à noter est que lorsqu'un retour proportionnel est petit, alors le retour proportionnel est approximativement égal aux retours de log. La raison en est que la série de Taylor pour le logarithme naturel est donnée par , et lorsque le retour proportionnel est petit, vous pouvez ignorer les termes avec , , etc. Cette approximation donne un peu plus de confort à ceux qui choisissent de travailler avec des retours proportionnels et multiplient la moyenne par et le écart-type de !$\log(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \ldots$$x$$x^2$$x^3$$n$$\sqrt{n}$

Vous devriez pouvoir trouver de plus amples informations sur le Web. Par exemple, j'ai essayé de rechercher des «retours de journal» pour rafraîchir ma mémoire, et le premier coup m'a semblé assez bon.

Ce que vous avez mis dans le cas où A est faux. Dans le reste de votre message, vous utilisez les faits que (i) l'attente d'une somme de variables aléatoires est la somme de leurs attentes, et (ii) la variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes est la somme de leurs variances. D'après (ii), il s'ensuit que l'écart type de variables aléatoires indépendantes distribuées de manière identique avec l'écart type est . Mais dans le cas A, vous avez multiplié à la fois la moyenne et l'écart type par , alors que la moyenne doit être multipliée par et l'écart type par$n$$\sigma$$\sqrt{n}\sigma$$\mu_X$$\sigma_X$$n$$n$$\sqrt{n}$.

Un point subtil mais important, comme le note le commentaire de @ whuber, est que la règle (ii) nécessite une corrélation, ce qui dans le cas des séries chronologiques ne signifie pas de corrélation en série (généralement vrai mais mérite d'être vérifié). L'exigence d'indépendance est valable à la fois dans le cas des retours proportionnels et des retours de journaux.

(Je n'ai jamais vu le cas B , le produit de variables aléatoires auparavant. Je ne pense pas que cette approche soit couramment utilisée. Je n'ai pas examiné en détail vos calculs, mais vos chiffres semblent à peu près corrects, et la formule peut se trouve sur wikipedia . à mon avis , cette approche semble beaucoup plus compliqué que soit l'approximation impliquée dans l' utilisation des rendements proportionnels ou l'approche sonore théoriquement d'utiliser le rendement du journal. Et, par rapport à l' aide du rendement du journal, que pouvez - vous dire au sujet de la répartition des Y? Comment pouvez-vous attribuer des probabilités à votre pire retour, par exemple?)