Limites de queue sur la norme euclidienne pour une distribution uniforme sur

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Quelles sont les limites supérieures connues de la fréquence à laquelle la norme euclidienne d'un élément uniformément choisi de sera supérieur à un seuil donné? $\:\{-n,~-(n-1),~...,~n-1,~n\}^d\:$

Je m'intéresse principalement aux bornes qui convergent exponentiellement vers zéro lorsque est bien inférieur à . $n$ $d$

uniform extreme-value bounds

— Ricky Demer
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Il est facile de répondre aux seuils calculez simplement les volumes d'hypersphères - mais plus difficile à déterminer pour . Êtes-vous dans l'une ou l'autre de ces situations?

t \leq n

$t\le n$

t > n

$t \gt n$

— whuber

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J'aurais besoin de.

t > n

$\: t > n \;\;$

$\;\;\;\;$

— Ricky Demer

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Je n'ai pas le temps de poster une réponse détaillée pour le moment, mais voici un indice en attendant: Comparez à une variable aléatoire binomiale avec la même moyenne utilisant la technique liée de Chernoff standard. Cela produira une limite de la forme pour et appropriés à condition que qui ait du sens une fois que vous pensez à ce que signifie la moyenne de la distance euclidienne au carré est. J'espère que cela aide certains.

\sum_{k} (X_{k} / n)^{2}

$\sum_k (X_k/n)^2$

a^{d} e^{- b t^{2}}

$a^d e^{-b t^2}$

a

$a$

b

$b$

t > n \sqrt{d (n + 1) / 3 n}

$t > n \sqrt{d (n+1)/3n}$

— cardinal

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Intuitivement, il devrait être évident qu'un point dont les coordonnées sont échantillonnées au hasard à partir de la distribution uniforme devrait avoir un petit module en raison de la malédiction de la dimensionnalité. Au fur et à mesure que augmente, la probabilité qu'un point échantillonné au hasard dans le volume de la boule des unités dimensionnelles ait une distance inférieure ou égale à rapport au centre est , qui chute exponentiellement rapidement. $d$ $d$ $\epsilon$ $\epsilon^{d}$

Je vais donner la version complète de la solution du cardinal.

Soit une copie indépendante d'une distribution discrète et uniforme sur les entiers . Clairement, , et il est facile de calculer que $X_i$ $-n \leqslant k \leqslant n$ $\mathbb{E}[X] = 0$ $\text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

Souvenez-vous que et que $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) + \mathbb{E}[X_i]^2$ $\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2$

Ainsi, $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2 = \frac{n(n+1)(3n^2 + 3n + 1)}{15} - \left( \frac{n(n+1)}{3} \right)^2$

$\mathbb{E}[X_i^4]$ calcul

Soit $Y_i = X_i^2$

\sum_{i = 1}^{d} Y_{i} = (Distance of Randomly Sampled Point to Origin)^{2}

$\sum_{i=1}^d Y_i = (\text{Distance of Randomly Sampled Point to Origin})^2$

Je terminerai cela demain, mais vous pouvez voir que cette variable a une moyenne d'environ , tandis que moins de fraction de points ont des distances inférieures à la moitié de la distance maximale $\frac{n^2}{3}$ $2^{-d}$ $\frac{dn^2}{2}$

— Michael K
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Si tous les suivent des uniformes discrets indépendants sur , alors comme il y a valeurs à choisir et leur moyenne est 0, nous avons pour tout : $X_i$ $[-n, n]$ $2n+1$ $i$

$\mathbb{E}(X_i)= 0$ , et

$\mathbb{V}(X_i)= \mathbb{E}\left((X_i - \mathbb{E}(X_i))^2\right)= \mathbb{E}(X_i^2)= \frac{(2n+1)^2 - 1}{12}= \frac{n(n+1)}{3}$

Alors si est la norme euclidienne au carré du vecteur , et à cause de l'indépendance du : $S$ $(X_1, X_2, ... X_d)$ $X_i$

$S= \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S)= \sum_{i=1}^d \mathbb{E}(X_i^2) = d \frac{n(n+1)}{3}$

À partir de là, vous pouvez utiliser l'inégalité de Markov: $\forall a >0, \mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{1}{a}\mathbb{E}(S)$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{d}{a}\frac{n(n+1)}{3}$

Cette limite augmente avec , ce qui est normal car lorsque devient plus grand, la norme euclidienne devient plus grande par rapport à un seuil fixe . $d$ $d$ $a$

Maintenant, si vous définissez comme une norme au carré "normalisée" (qui a la même valeur attendue, quelle que soit la taille de ), vous obtenez: $S^*$ $d$

$S^*= \frac{1}{d} Y = \frac{1}{d} \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S^*) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{n(n+1)}{3a}$

Au moins, cette limite ne monte pas avec , mais elle est loin de résoudre votre quête d'une limite décroissante exponentiellement! Je me demande si cela peut être dû à la faiblesse de l'inégalité de Markov ... $d$

Je pense que vous devriez préciser votre question, car comme indiqué ci-dessus, la norme euclidienne moyenne de vos vecteurs augmente linéairement en , il est donc très peu probable que vous trouviez une limite supérieure pour qui diminue en avec un seuil fixe . $d$ $\mathbb{P}(S > a)$ $d$ $a$

— jubo
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