Ajuster un terme sinusoïdal aux données

Bien que j'ai lu ce post, je n'ai toujours aucune idée de comment l'appliquer à mes propres données et j'espère que quelqu'un pourra m'aider.

J'ai les données suivantes:

y <- c(11.622967, 12.006081, 11.760928, 12.246830, 12.052126, 12.346154, 12.039262, 12.362163, 12.009269, 11.260743, 10.950483, 10.522091,  9.346292,  7.014578,  6.981853,  7.197708,  7.035624,  6.785289, 7.134426,  8.338514,  8.723832, 10.276473, 10.602792, 11.031908, 11.364901, 11.687638, 11.947783, 12.228909, 11.918379, 12.343574, 12.046851, 12.316508, 12.147746, 12.136446, 11.744371,  8.317413, 8.790837, 10.139807,  7.019035,  7.541484,  7.199672,  9.090377,  7.532161,  8.156842,  9.329572, 9.991522, 10.036448, 10.797905)
t <- 18:65

Et maintenant je veux simplement rentrer dans une onde sinusoïdale

avec les quatre inconnues , , et à elle.$A$$\omega$$\phi$$C$

Le reste de mon code est le suivant

res <- nls(y ~ A*sin(omega*t+phi)+C, data=data.frame(t,y), start=list(A=1,omega=1,phi=1,C=1))
co <- coef(res)

fit <- function(x, a, b, c, d) {a*sin(b*x+c)+d}

# Plot result
plot(x=t, y=y)
curve(fit(x, a=co["A"], b=co["omega"], c=co["phi"], d=co["C"]), add=TRUE ,lwd=2, col="steelblue")

Mais le résultat est vraiment médiocre.

J'apprécierais beaucoup toute aide.

À votre santé.

Si vous voulez juste une bonne estimation de et que vous ne vous souciez pas beaucoup de son erreur standard:$\omega$

ssp <- spectrum(y)  
per <- 1/ssp$freq[ssp$spec==max(ssp$spec)]
reslm <- lm(y ~ sin(2*pi/per*t)+cos(2*pi/per*t))
summary(reslm)

rg <- diff(range(y))
plot(y~t,ylim=c(min(y)-0.1*rg,max(y)+0.1*rg))
lines(fitted(reslm)~t,col=4,lty=2)   # dashed blue line is sin fit

# including 2nd harmonic really improves the fit
reslm2 <- lm(y ~ sin(2*pi/per*t)+cos(2*pi/per*t)+sin(4*pi/per*t)+cos(4*pi/per*t))
summary(reslm2)
lines(fitted(reslm2)~t,col=3)    # solid green line is periodic with second harmonic

(Un meilleur ajustement expliquerait peut-être encore les valeurs aberrantes de cette série, en réduisant leur influence.)

---

Si vous voulez avoir une idée de l'incertitude dans , vous pouvez utiliser la vraisemblance du profil ( pdf1 , pdf2 - les références pour obtenir des CI ou SE approximatifs à partir de la vraisemblance du profil ou de ses variantes ne sont pas difficiles à localiser)$\omega$

(Alternativement, vous pouvez alimenter ces estimations dans nls ... et les démarrer déjà convergées.)

$2 \pi / 20$

Quand j'ai mis cela dans nlsla startliste de, j'ai obtenu une courbe qui était beaucoup plus raisonnable, bien qu'elle ait encore des biais systématiques.

En fonction de votre objectif avec cet ensemble de données, vous pouvez essayer d'améliorer l'ajustement en ajoutant des termes supplémentaires ou en utilisant une approche non paramétrique comme un processus gaussien avec un noyau périodique.

Choisir automatiquement une valeur de départ

Si vous souhaitez choisir la fréquence dominante, vous pouvez utiliser une transformée de Fourier rapide (FFT). C'est loin de mon domaine d'expertise, donc je vais laisser d'autres personnes remplir les détails s'ils le souhaitent (en particulier sur les étapes 2 et 3), mais le Rcode ci-dessous devrait fonctionner.

# Step 1: do the FFT
raw.fft = fft(y)

# Step 2: drop anything past the N/2 - 1th element.
# This has something to do with the Nyquist-shannon limit, I believe
# (https://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem)
truncated.fft = raw.fft[seq(1, length(y)/2 - 1)]

# Step 3: drop the first element. It doesn't contain frequency information.
truncated.fft[1] = 0

# Step 4: the importance of each frequency corresponds to the absolute value of the FFT.
# The 2, pi, and length(y) ensure that omega is on the correct scale relative to t.
# Here, I set omega based on the largest value using which.max().
omega = which.max(abs(truncated.fft)) * 2 * pi / length(y)

Vous pouvez également tracer abs(truncated.fft)pour voir s'il existe d'autres fréquences importantes, mais vous devrez jouer un peu avec la mise à l'échelle de l'axe des x.

De plus, je crois que @Glen_b a raison que le problème est convexe une fois que vous connaissez les oméga (ou peut-être avez-vous aussi besoin de connaître le phi? Je ne suis pas sûr). Dans tous les cas, connaître les valeurs de départ pour les autres paramètres ne devrait pas être aussi important que pour les oméga s'ils sont dans le bon stade. Vous pourriez probablement obtenir des estimations décentes des autres paramètres de la FFT, mais je ne sais pas comment cela fonctionnerait.

Comme alternative à ce qui a déjà été dit, il peut être intéressant de noter qu'un modèle AR (2) de la classe des modèles ARIMA peut être utilisé pour générer des prévisions avec un modèle d'onde sinusoïdale.

Panratz (1991) nous apprend ce qui suit sur les cycles stochastiques:

Un modèle de cycle stochastique peut être considéré comme un modèle d'onde sinusoïdale déformé dans le modèle de prévision: il s'agit d'une onde sinusoïdale avec une période, une amplitude et un angle de phase stochastiques (probabilistes).

Pour voir si un tel modèle pouvait être ajusté aux données, j'ai utilisé la auto.arima()fonction du package de prévision pour savoir s'il suggérerait un modèle AR (2). Il s'avère que la auto.arima()fonction suggère un modèle ARMA (2,2); pas un pur modèle AR (2), mais c'est OK. C'est OK car un modèle ARMA (2,2) contient un composant AR (2), donc la même règle (sur les cycles stochastiques) s'applique. Autrement dit, nous pouvons toujours vérifier la condition susmentionnée pour voir si des prévisions d'ondes sinusoïdales seront produites.

Les résultats de auto.arima(y)sont présentés ci-dessous.

Series: y 
ARIMA(2,0,2) with non-zero mean 

Coefficients:
         ar1      ar2      ma1     ma2  intercept
      1.7347  -0.8324  -1.2474  0.6918    10.2727
s.e.  0.1078   0.0981   0.1167  0.1911     0.5324

sigma^2 estimated as 0.6756:  log likelihood=-60.14
AIC=132.27   AICc=134.32   BIC=143.5

Le graphique ci-dessous montre la série d'origine, y, l'ajustement du modèle ARMA (2,2) et 14 prévisions hors échantillon. Comme on peut le voir, les prévisions hors échantillon suivent un schéma sinusoïdal.

Gardez à l'esprit deux choses. 1) Il s'agit simplement d'une analyse très rapide (à l'aide d'un outil automatisé) et un traitement approprié impliquerait de suivre la méthodologie de Box-Jenkins. 2) Les prévisions ARIMA sont bonnes pour les prévisions à court terme, vous pouvez donc trouver que les prévisions à long terme des modèles dans les réponses de @David J. Harris et @Glen_b sont plus fiables.

Enfin, j'espère que c'est un bon ajout à certaines réponses déjà très instructives.

Référence : Prévision avec des modèles de régression dynamique: Alan Pankratz, 1991, (John Wiley and Sons, New York), ISBN 0-471-61528-5

Les méthodes actuelles pour adapter une courbe sin à un ensemble de données donné nécessitent une première estimation des paramètres, suivie d'un processus interactif. Il s'agit d'un problème de régression non linéaire. Une autre méthode consiste à transformer la régression non linéaire en une régression linéaire grâce à une équation intégrale pratique. Ensuite, il n'y a pas besoin de conjecture initiale et pas besoin de processus itératif: l'ajustement est directement obtenu. Dans le cas de la fonction y = a + r * sin (w * x + phi) ou y = a + b * sin (w * x) + c * cos (w * x), voir pages 35-36 du document "Régression sinusoidale" publiée sur Scribd: http://www.scribd.com/JJacquelin/documents Dans le cas de la fonction y = a + p * x + r * sin (w * x + phi): pages 49-51 du chapitre "Régressions mixtes linéaires et sinusoïdales". Dans le cas de fonctions plus compliquées, le processus général est expliqué dans le chapitre "Régression sinusoïdale généralisée" pages 54-61, suivi d'un exemple numérique y = r * sin (w * x + phi) + (b / x) + c * ln (x), pages 62-63

Si vous connaissez le point le plus bas et le plus haut de vos données d'aspect cosinus, vous pouvez utiliser cette fonction simple pour calculer tous les coefficients cosinus:

getMyCosine <- function(lowest_point=c(pi,-1), highest_point=c(0,1)){
  cosine <- list(
    T = pi / abs(highest_point[1] - lowest_point[1]),
    b = - highest_point[1],
    k = (highest_point[2] + lowest_point[2]) / 2,
    A = (highest_point[2] - lowest_point[2]) / 2
  )
  return(cosine)
}

Ci-dessous, il est utilisé pour simuler la variation de la température tout au long de la journée avec une fonction cosinus, en entrant les heures et les valeurs de température pour l'heure la plus basse et la plus chaude:

c <- getMyCosine(c(4,10),c(17,25)) 
# lowest temprature at 4:00 (10 degrees), highest at 17:00 (25 degrees)

x = seq(0,23,by=1);  y = c$A*cos(c$T*(x +c$b))+c$k ; 
library(ggplot2);   qplot(x,y,geom="step")

La sortie est ci-dessous:

Une autre option utilise la fonction générique optim ou nls. J'ai essayé les deux aucun d'eux n'est complètement robuste

Les fonctions suivantes prennent les données en y et calculent les paramètres.

calc.period <- function(y,t)
{     
   fs <- 1/(t[2]-t[1])
   ssp <- spectrum(y,plot=FALSE )  
   fN <- ssp$freq[which.max(ssp$spec)]
   per <- 1/(fN*fs)
   return(per)
 }

fit.sine<- function(y, t)
{ 
  data <- data.frame(x = as.vector(t), y=as.vector(y))
  min.RSS <- function (data, par){
    with(data, sum((par[1]*sin(2*pi*par[2]*x + par[3])+par[4]-y )^2))
  }  
  amp = sd(data$y)*2.**0.5
  offset = mean(data$y)
  fest <- 1/calc.period(y,t)
  guess = c( amp, fest,  0,   offset)
  #res <- optim(par=guess, fn = min.RSS, data=data ) 
  r<-nls(y~offset+A*sin(2*pi*f*t+phi), 
     start=list(A=amp, f=fest, phi=0, offset=offset))
  res <- list(par=as.vector(r$m$getPars()))
  return(res)
}

 genSine <- function(t, params)
     return( params[1]*sin(2*pi*params[2]*t+ params[3])+params[4])

l'utilisation est la suivante:

t <- seq(0, 10, by = 0.01)
A <- 2 
f <- 1.5
phase <- 0.2432
offset <- -2

y <- A*sin(2*pi*f*t +phase)+offset + rnorm(length(t), mean=0, sd=0.2)

reslm1 <- fit.sine(y = y, t= t)

Le code suivant compare les données

ysin <- genSine(as.vector(t), params=reslm1$par)
ysin.cor <- genSine(as.vector(t), params=c(A, f, phase, offset))

plot(t, y)
lines(t, ysin, col=2)
lines(t, ysin.cor, col=3)