Comment trouver un bon ajustement pour un modèle semi-sinusoïdal en R?

Je veux supposer que la température de surface de la mer Baltique est la même année après année, puis la décrire avec un modèle fonction / linéaire. L'idée que j'avais était de simplement entrer l'année sous forme de nombre décimal (ou num_months / 12) et de déterminer la température à ce moment-là. En le lançant dans la fonction lm () dans R, il ne reconnaît pas les données sinusoïdales, il produit donc une ligne droite. J'ai donc placé la fonction sin () dans un crochet I () et essayé quelques valeurs pour l'ajuster manuellement, ce qui se rapproche de ce que je veux. Mais la mer se réchauffe plus rapidement en été et se refroidit plus lentement à l’automne ... Le modèle a donc tort la première année, puis est devenu plus correct au bout de quelques années, puis à l’avenir, il deviendra de plus en plus et plus faux encore.

Comment puis-je demander à R d'estimer le modèle pour moi, de sorte que je n'ai pas à deviner les chiffres moi-même? La clé ici est que je veux qu’il produise les mêmes valeurs année après année, et ne soit pas juste correct pour un an. Si j'en savais plus sur les mathématiques, je pourrais peut-être l'assimiler à quelque chose comme un poisson ou un gaussien au lieu de sin (), mais je ne sais pas comment le faire non plus. Toute aide pour se rapprocher d'une bonne réponse serait grandement appréciée.

Voici les données que j'utilise et le code pour afficher les résultats jusqu'à présent:

# SST from Bradtke et al 2010
ToY <- c(1/12,2/12,3/12,4/12,5/12,6/12,7/12,8/12,9/12,10/12,11/12,12/12,13/12,14/12,15/12,16/12,17/12,18/12,19/12,20/12,21/12,22/12,23/12,24/12,25/12,26/12,27/12,28/12,29/12,30/12,31/12,32/12,33/12,34/12,35/12,36/12,37/12,38/12,39/12,40/12,41/12,42/12,43/12,44/12,45/12,46/12,47/12,48/12)
Degrees <- c(3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5)
SST <- data.frame(ToY, Degrees)
SSTlm <- lm(SST$Degrees ~ I(sin(pi*2.07*SST$ToY)))
summary(SSTlm)
plot(SST,xlim=c(0,4),ylim=c(0,17))
par(new=T)
plot(data.frame(ToY=SST$ToY,Degrees=8.4418-6.9431*sin(2.07*pi*SST$ToY)),type="l",xlim=c(0,4),ylim=c(0,17))

Cela peut être fait avec une régression linéaire -

Vous avez juste besoin d’un terme et d’un terme à chaque fréquence.$\sin$$\cos$

La raison pour laquelle vous pouvez utiliser un terme et dans une régression linéaire pour gérer la saisonnalité avec toute amplitude et phase est due à l' identité trigonométrique suivante :$\sin$$\cos$

Une onde sinusoïdale «générale» d'amplitude et de phase , , peut être écrite comme la combinaison linéaire où et sont tels que et . Voyons que les deux sont équivalents:φ Un péché ( x + φ ) un péché x + b cos x a b A = $A$$\varphi$$A \sin (x + \varphi)$$a\sin x+b\cos x$$a$$b$ sinφ=$A=\sqrt{a^2+b^2}$$\sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Voici le modèle de base:

 SSTlm <- lm(Degrees ~ sin(2*pi*ToY)+cos(2*pi*ToY),data=SST)
 summary(SSTlm)

[couper]

Coefficients:
                      Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)              8.292      0.135   61.41   <2e-16 *** 
sin(2 * pi * ToY)       -5.916      0.191  -30.98   <2e-16 ***  
cos(2 * pi * ToY)       -4.046      0.191  -21.19   <2e-16 *** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.9355 on 45 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.969,      Adjusted R-squared: 0.9677 
F-statistic: 704.3 on 2 and 45 DF,  p-value: < 2.2e-16 

 plot(Degrees~ToY,ylim=c(1.5,16.5),data=SST)
 lines(SST$ToY,SSTlm$fitted,col=2)

Éditer: Remarque importante - le terme fonctionne car la période de la fonction a été configurée de manière à ce qu'une période = 1 unité de . Si la période est différente de 1, disons que la période est , alors vous avez besoin de place.$2\pi\,t$$t$$\omega$$(2\pi/\omega)\, t$

Voici le modèle avec le deuxième harmonique:

 SSTlm2 <- lm(Degrees ~ sin(2*pi*ToY)+cos(2*pi*ToY)
                        +sin(4*pi*ToY)+cos(4*pi*ToY),data=SST)
 summary(SSTlm2)

[couper]

Coefficients:
                  Estimate Std. Error  t value Pr(>|t|)    
(Intercept)        8.29167    0.02637  314.450  < 2e-16 ***  
sin(2 * pi * ToY) -5.91562    0.03729 -158.634  < 2e-16 ***  
cos(2 * pi * ToY) -4.04632    0.03729 -108.506  < 2e-16 ***  
sin(4 * pi * ToY)  1.21244    0.03729   32.513  < 2e-16 ***  
cos(4 * pi * ToY)  0.33333    0.03729    8.939 2.32e-11 ***  
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.1827 on 43 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9989,     Adjusted R-squared: 0.9988 
F-statistic:  9519 on 4 and 43 DF,  p-value: < 2.2e-16 

 plot(Degrees~ToY,ylab="Degrees",xlab="ToY",ylim=c(1.5,16.5),data=SST)
 lines(SSTlm2$fitted~ToY,col=2,data=SST)

... et ainsi de suite, avec 6*pi*ToYetc. S'il y avait un peu de bruit dans les données, je m'arrêterais probablement avec ce deuxième modèle.

Avec suffisamment de termes, vous pouvez ajuster exactement des séquences périodiques asymétriques et même irrégulières, mais les ajustements qui en résultent risquent de "bouger". Voici une fonction asymétrique (c'est une dent de scie - ajoutée à une version mise à l'échelle de votre fonction périodique), avec une troisième harmonique (rouge) et une quatrième harmonique (verte). La coupe verte est en moyenne un peu plus serrée mais "ondulée" (même si la crise passe par tous les points, elle peut être très ondulée entre les points).

La périodicité signifie ici qu'il n'y a que 12 df disponibles pour un modèle saisonnier dans les données. Avec l'interception dans le modèle, vous ne disposez que de suffisamment de degrés de liberté pour 11 paramètres saisonniers supplémentaires. Puisque vous ajoutez deux termes à chaque harmonique, le dernier harmonique que vous pouvez adapter ne vous permettra que l’ un d’eux pour le dernier terme, le sixième harmonique (et il faut que ce soit un ; le terme zéro, tandis que le cos alterne entre 1 et -1).$\cos$$\sin$

Si vous souhaitez des ajustements plus lisses que ce que cette approche produit sur des séries non lisses, vous souhaiterez peut-être examiner l' ajustement périodique des splines .

Une autre approche consiste à utiliser des variables nominales saisonnières, mais l'approche sin / cos est souvent préférable s'il s'agit d'une fonction périodique lisse.

Ce type d’approche de la saisonnalité peut également s’adapter à des situations dans lesquelles la saisonnalité évolue, comme l’utilisation de la saisonnalité trigonométrique ou fictive avec des modèles d’espace à états.

Bien que l’approche du modèle linéaire décrite ici soit simple à utiliser, l’un des avantages de la méthode de régression non linéaire de @ COOLSerdash est qu’elle peut traiter un plus grand nombre de situations - vous n’avez pas à changer beaucoup avant de vous retrouver dans une situation où la régression ne convient plus, mais des moindres carrés non linéaires peuvent toujours être utilisés (une période inconnue en serait un exemple).

La température que vous indiquez dans votre question se répète exactement chaque année. Je soupçonne que ce ne sont pas vraiment des températures mesurées sur quatre ans. Dans votre exemple, vous n’auriez pas besoin d’un modèle, car les températures se répètent exactement. Mais sinon, vous pourriez utiliser la nlsfonction pour ajuster une courbe sinusoïdale:

ToY <- c(1/12,2/12,3/12,4/12,5/12,6/12,7/12,8/12,9/12,10/12,11/12,12/12,13/12,14/12,15/12,16/12,17/12,18/12,19/12,20/12,21/12,22/12,23/12,24/12,25/12,26/12,27/12,28/12,29/12,30/12,31/12,32/12,33/12,34/12,35/12,36/12,37/12,38/12,39/12,40/12,41/12,42/12,43/12,44/12,45/12,46/12,47/12,48/12)
Degrees <- c(3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5)
SST <- data.frame(ToY, Degrees)

par(cex=1.5, bg="white")
plot(Degrees~ToY,xlim=c(0,4),ylim=c(0,17), pch=16, las=1)

nls.mod <-nls(Degrees ~ a + b*sin(2*pi*c*ToY), start=list(a = 1, b = 1, c=1))

co <- coef(nls.mod) 
f <- function(x, a, b, c) {a + b*sin(2*pi*c*x) }

curve(f(x, a=co["a"], b=co["b"], c=co["c"]), add=TRUE ,lwd=2, col="steelblue")

Mais l'ajustement n'est pas très bon, surtout au début. Il semble que vos données ne puissent pas être modélisées de manière adéquate par une simple courbe sinusoïdale. Peut-être qu'une fonction trigonométrique plus complexe fera l'affaire?

nls.mod2 <-nls(Degrees ~ a + b*sin(2*pi*c*ToY)+d*cos(2*pi*e*ToY), start=list(a = 1, b = 1, c=1, d=1, e=1))

co2 <- coef(nls.mod2) 
f <- function(x, a, b, c, d, e) {a + b*sin(2*pi*c*x)+d*cos(2*pi*e*x) }

curve(f(x, a=co2["a"], b=co2["b"], c=co2["c"], d=co2["d"], e=co2["e"]), add=TRUE ,lwd=2, col="red")

La courbe rouge correspond mieux aux données. Avec la nlsfonction, vous pouvez insérer le modèle que vous jugez approprié.

Ou peut-être pourriez-vous utiliser le forecastpaquet. Dans l'exemple ci-dessous, j'ai supposé que la série chronologique avait commencé en janvier 2010:

library(forecast)

Degrees.ts <- ts(Degrees, start=c(2010,1), frequency=12)

Degree.trend <- auto.arima(Degrees.ts)

degrees.forecast <- forecast(Degree.trend, h=12, level=c(80,95), fan=F)

plot(degrees.forecast, las=1, main="", xlab="Time", ylab="Degrees")

Comme les données sont déterministes, aucune bande de confiance n’est montrée.