Transformation pour augmenter le kurtosis et l'asymétrie du rv normal

Je travaille sur un algorithme qui repose sur le fait que les observations sont normalement distribuées, et je voudrais tester empiriquement la robustesse de l'algorithme à cette hypothèse.$Y$

Pour ce faire, je cherchais une suite de transformations qui perturberait progressivement la normalité de . Par exemple, si les sont normaux, ils ont une asymétrie et une kurtosis , et il serait bien de trouver une séquence de transformation qui augmente progressivement les deux.$T_1(), \dots, T_n()$$Y$$Y$$= 0$$= 3$

Mon idée était de simuler des données normalement distribuées approximativement et de tester l'algorithme à ce sujet. Ensuite, testez l'algorithme sur chaque jeu de données transformé , pour voir à quel point la sortie change.$Y$$T_1(Y), \dots, T_n(y)$

Notez que je ne contrôle pas la distribution des simulés , je ne peux donc pas les simuler à l'aide d'une distribution qui généralise le Normal (telle que la distribution des erreurs généralisées asymétriques).$Y$

Cela peut être fait en utilisant la transformation sinh-arcsinh de

Jones, MC et Pewsey A. (2009). Distributions Sinh-arcsinh . Biometrika 96: 761–780.

La transformation est définie comme

où et δ ∈ R + . Lorsque cette transformation est appliquée à la CDF normale S ( x ; ϵ , δ ) = Φ [ H ( x ; ϵ , δ ) ] , elle produit une distribution unimodale dont les paramètres ( ϵ , δ ) contrôlent respectivement l'asymétrie et la kurtosis (Jones et Pewsey, 2009), au sens de van Zwet (1969) . De plus, si ϵ = 0 et $\epsilon \in{\mathbb R}$$\delta \in {\mathbb R}_+$$S(x;\epsilon,\delta)=\Phi[H(x;\epsilon,\delta)]$$(\epsilon,\delta)$$\epsilon=0$ , on obtient la distribution normale d'origine. Voir le code R suivant.$\delta=1$

fs = function(x,epsilon,delta) dnorm(sinh(delta*asinh(x)-epsilon))*delta*cosh(delta*asinh(x)-epsilon)/sqrt(1+x^2)

vec = seq(-15,15,0.001)

plot(vec,fs(vec,0,1),type="l")
points(vec,fs(vec,1,1),type="l",col="red")
points(vec,fs(vec,2,1),type="l",col="blue")
points(vec,fs(vec,-1,1),type="l",col="red")
points(vec,fs(vec,-2,1),type="l",col="blue")

vec = seq(-5,5,0.001)

plot(vec,fs(vec,0,0.5),type="l",ylim=c(0,1))
points(vec,fs(vec,0,0.75),type="l",col="red")
points(vec,fs(vec,0,1),type="l",col="blue")
points(vec,fs(vec,0,1.25),type="l",col="red")
points(vec,fs(vec,0,1.5),type="l",col="blue")

Par conséquent, en choisissant une séquence appropriée de paramètres , vous pouvez générer une séquence de distributions / transformations avec différents niveaux d'asymétrie et de kurtosis et les rendre aussi similaires ou différents de la distribution normale que vous le souhaitez.$(\epsilon_n,\delta_n)$

Le graphique suivant montre le résultat produit par le code R. Pour (i) et δ = 1 , et (ii) ϵ = 0 et δ = ( 0,5 , 0,75 , 1 , 1,25 , 1,5 ) .$\epsilon=(-2,-1,0,1,2)$$\delta=1$ $\epsilon=0$$\delta=(0.5,0.75,1,1.25,1.5)$

La simulation de cette distribution est simple étant donné qu'il suffit de transformer un échantillon normal en utilisant l'inverse de .$(\star)$

Cela peut être fait en utilisant des variables / distributions aléatoires Lambert W x F. Une variable aléatoire Lambert W x F (RV) est un X non transformé linéairement (RV) de distribution F.

$\alpha = 1$Gaussianize()

Ils sont mis en œuvre dans le

Les transformations Lambert W x F se déclinent en 3 saveurs:

• type = 's'$\gamma \in R$
• type = 'h'$\delta \geq 0$$\alpha$
• asymétrique et à queue lourde (type = 'hh'$\delta_l, \delta_r \geq 0$

Voir les références sur les queues asymétriques et lourdes (Avertissement: je suis l'auteur.)

Dans R, vous pouvez simuler, estimer, tracer, etc. plusieurs distributions Lambert W x F avec le package LambertW .

library(LambertW)
library(RColorBrewer)
# several heavy-tail parameters
delta.v <- seq(0, 2, length = 11)
x.grid <- seq(-5, 5, length = 100)
col.v <- colorRampPalette(c("black", "orange"))(length(delta.v))

plot(x.grid, dnorm(x.grid), lwd = 2, type = "l", col = col.v[1],
     ylab = "")
for (ii in seq_along(delta.v)) {
  lines(x.grid, dLambertW(x.grid, "normal", 
                          theta = list(delta = delta.v[ii], beta = c(0, 1))),
        col = col.v[ii])
}
legend("topleft", paste(delta.v), col = col.v, lty = 1,
       title = "delta = ")

$\gamma$$\delta_l$$\delta_r$

Une telle séquence est l'exponentiation à divers degrés. Par exemple

library(moments)
x <- rnorm(1000) #Normal data
x2 <- 2^x #One transformation
x3 <- 2^{x^2} #A stronger transformation
test <- cbind(x, x2, x3) 
apply(test, 2, skewness) #Skewness for the three distributions
apply(test, 2, kurtosis) #Kurtosis for the three distributions

$x^{1.1}, x^{1.2} \dots x^2$

Même réponse que @ user10525 mais en python

import numpy as np
from scipy.stats import norm
def sinh_archsinh_transformation(x,epsilon,delta):
    return norm.pdf(np.sinh(delta*np.arcsinh(x)-epsilon))*delta*np.cosh(delta*np.arcsinh(x)-epsilon)/np.sqrt(1+np.power(x,2))


vec = np.arange(start=-15,stop=15+0.001,step=0.001)

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,0,1))
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,1,1),color='red')
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,2,1),color='blue')
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,-1,1),color='red')
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,-2,1),color='blue')

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